integral p'/p = 2pi*i*n

[arturo]

Otro:

Sea $p(z)$ un polinomio de grado $n$ y $R>0$ suficientemente grande tal que $p$ no se anule en $\{z:|z|>R\}$. Si $C$ es el círculo de radio $R$ centrado en el origen, muestre que

$\displaystyle\int_C\frac{p'(z)}{p(z)}\,dz=2\pi in$.

Siempre son bienvenidas sugerencias. Gracias.

[pod]

Re: integral p'/p = 2pi*i*n

Por el teorema fundamental del álgebra, p(z) tiene exactamente n ceros. Como no hay ninguno fuera de C, todos están en su interior. En cada uno de los ceros, $z_i$,$i = 1,\cdots,n$, puedes escribir p(z) como una serie de Taylor (no de Laurent, puesto que es regular). Te darás cuenta de dos cosas: todos los ceros $z_i$ corresponden a polos (de orden 1), y que el residuo correspondiente siempre es 1.

[carroza]

Re: integral p'/p = 2pi*i*n

Al argumento de Pod habria que añadir el caso en el polinomio tuviera raices multiples (por ej P(z)=z^2). Entonces, hay raices dobles, que corresponden a polos de orden 2 en P'(z)/P(z) . Habria que ver que, si la raiz es doble, el residuo es 4Pi i

[pod]

Re: integral p'/p = 2pi*i*n

Al argumento de Pod habria que añadir el caso en el polinomio tuviera raices multiples (por ej P(z)=z^2). Entonces, hay raices dobles, que corresponden a polos de orden 2 en P'(z)/P(z) . Habria que ver que, si la raiz es doble, el residuo es 4Pi i

Bueno, en ese caso el residuo debería ser 2, no $4\pi i$. En general, debería el grado del polo.

[arturo]

Re: integral p'/p = 2pi*i*n

Sea $p(z)$ un polinomio de grado $n$ y $R>0$ suficientemente grande tal que $p$ no se anule en $\{z:|z|>R\}$. Si $C$ es el círculo de radio $R$ centrado en el origen, muestre que

$\displaystyle\int_C\frac{p'(z)}{p(z)}\,dz=2\pi in$.

Gracias a todos.

He utilizado el principio del argumento para resolverla que dice algo asi:

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Sea $f(z)$ analitica dentro y sobre una curva simple cerrada $C$ excepto para un número finito de de polos dentro de $C$. Entonces

$\displaystyle \frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f'(z)}{f(z)}\,dz=\rm{N}-\rm{P}$

donde N y P son, respectivamente, el número de ceros y polos de $f(z)$ dentro de $C$.

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Entonces, como $p(z)$ tiene n ceros y es un polinomio, se aplica el teorema anterior .

Si no se sabe el teorema se puede utilizar integrales de linea.

Una disculpa por escribirlo apresuradamente, prometo escribir la demostración del teorema.

Se aceptan sugerencias y correcciones.

[carroza]

Re: integral p'/p = 2pi*i*n

No me queda muy claro tu argumento.

Un polinomio de orden n puede tener menos de n ceros, si tiene raices multiples.

Por ejemplo, x^n es de orden n, pero tiene un unico cero (x=0).

En este caso, no se somo se aplicaria tu formula general.

Sin embargo, en esa situacion, p'(x)/p(x) = n x^(n-1)/x^n = n /x, tiene un polo simple, de residuo n,
con lo cual se cumple tu expresion.

Total, que podriamos decir que, en general, p'(x)/p(x) tiene solo polos simples, y el residuo en cada polo es igual al orden de la raiz de p(x) que genera el polo.
Con ello, por el teorema de los residuos, la integral es 2pi i por la suma de los ordenes de los ceros del polinomio, y eso si es igual al orden del polinomio.