1r ciclo Ramas de Logaritmo Complejo

[Brunow]

tengo un problema grave con el tema de las ramas del logaritmo, en particular en el ultimo examen me pidieron que encontrara el dominio de diferenciabilidad y analiticidad de la siguiente funcion: $\sqrt[1/3]{{e}^{z}+1}$ y como ayuda daban la expresion usando la rama principal del logaritmo complejo:

$\sqrt[1/3]{{e}^{z}+1} = {e}^{\frac{1}{3}Log({e}^{z} +1)}$

soy nuevo en el foro, espero sepan comprender mi malisimo uso de LaTex.
Desde ya les agradesco,

Bruno


Info Adicional:

Lo que hice fue lo siguiente:
Busque que condiciones me imponia la eleccion de la rama principal del algoritmo (el problema me decia que siendo $log(w)$ el argumento elejido era $-\frac{\pi }{2 }\leqslant Arg(w)<\frac{\pi}{2 }$

Entonces yo pensé:
$Re(w)<0 \text{ e } Im(w)=0$. en este caso $w={e}^{z }+1$ y entonces estas condiciones darian:
${e}^{x}\sin(y)=0 \Rightarrow y=\pi n, n\epsilon Z$
y ademas:
${e}^{x}\cos(y)+1={e}^{x}\cos(\pi n)+1<0$ y entonces
${e}^{x}\cos(\pi n)<-1$ por lo tanto se concluye que
$x<1 \text{ e } y=(2k+1)\pi , k\epsilon Z$

pero este es mi problema, me dan infinitas ramas todas paralelas al eje x. no se que hacer, ya busque en google mil veces pero no encontre nada.
espero su respuesta.

[pod]

Re: Ramas de Logaritmo Complejo

A mi edad ya casi no recuerdo los detalles de todos estos teoremas, por desuso :P Pero... ¿por qué es un problema que te salgan diversas ramas?

Por cierto, lo que estas imponiendo sobre $\omega$ son las condiciones donde el logarítmo no es analítico (es analítico en todas partes menos el semieje negativo real). Así que lo que estás demostrando es que tu función es analítica en todas partes menos esos segmentos semi-initnitos, ¿no?

[polonio]

Re: Ramas de Logaritmo Complejo

Creo que no está copiado bien eso de que el argumento elegido para la función logaritmo sea $-\frac{\pi }{2 }\leqslant Arg(w)<\frac{\pi}{2 }<br />$: tendría que dar una vuelta completa.

Si te dicen $-\frac{\pi }{2 }\leqslant Arg(w)<\frac{3\pi}{2}$, por ejemplo, la ramificación se tiene para $(e^z + 1)$ imaginario y negativo.

Si te dicen $-\pi \leqslant Arg(w)< \pi$, por ejemplo, la ramificación se tiene para $(e^z + 1)$ real y negativo.

...

[Brunow]

Re: Ramas de Logaritmo Complejo

si tienen razon!! quise decir $-\pi\leqslant Arg(w)<\pi$
y efectivamente, lo que busque es donde NO es analitica (ni siquiera diferenciable), asi la solucion la expresaria como $C-\left\{ \text{puntos donde NO es diferenciable} \right\}$

[Brunow]

Re: Ramas de Logaritmo Complejo

bueno les comento que pasó, hoy fui a ver el resultado del parcial y.... aprobé!!! conclusion, segun mis profesores el ejercicio estaba bien hecho. o sea que asi como lo hice es correcto por mas inusual que suene tener infinitas ramas , pero bue. gracias y espero sigamos colaborando mutuamente. saludos desde Argentina

[pod]

Re: Ramas de Logaritmo Complejo

bueno les comento que pasó, hoy fui a ver el resultado del parcial y.... aprobé!!! conclusion, segun mis profesores el ejercicio estaba bien hecho. o sea que asi como lo hice es correcto por mas inusual que suene tener infinitas ramas , pero bue. gracias y espero sigamos colaborando mutuamente. saludos desde Argentina

No tiene infinitas ramas, tiene infinitos cortes.

[Brunow]

Re: Ramas de Logaritmo Complejo

Pod estas en lo cierto, pero por cada eleccion de corte implica la seleccion de una funcion univaluada que define una rama, por lo tanto la relacion es uno a uno. no es verdad?

[pod]

Re: Ramas de Logaritmo Complejo

Los cortes son los lugares por los que no puedes pasar si no quieres caer en multivaluación. En este caso, hay multitud de sitios por los que no puedes pasar.

El motivo por el que pasa está muy claro. El logaritmo tiene un sólo corte, pero dentro del logaritmo tienes una función periódica. Y como es periódica, pasa varias (infinitas) veces por ese corte, por eso te sale reflejado otras tantas (infinitas) veces en tu función compuesta.