1r ciclo series de Laurent

[rupiopan]

como podría calcular estas series de Laurent?

f(z)=z/(z-1)^2(z+4)^3 válido para la circunferencia entre 1 y 4

se calcular algunas series de Laurent pero el cuadrado y el cubo me descolocan

Gracias!

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Re: series de Laurent

Una estrategia sería calcular las series de z (trivial), $1/(z-1)^2$ y $1/(z+4)^3$ y después multiplicarlas. Las series de $1/(z+a)^n$ son sencillas de calcular, deberías tenerlas en algún apunte. Y, sino, puedes hacer las integrales tal cual.

[rupiopan]

Re: series de Laurent

hola, pues revisando este hilo no tengo claro como hacerlo. Que integral tendría que hacer? la del residuo, pero como?

solo tengo un residuo en cada fracción? si me pudieras decir donde hay un ejemplo te lo agradecería.

saludos y gracias

[rupiopan]

Re: series de Laurent

para obtener los coeficientes de Laurent haría

$\dst {c}_{ n} =\int \frac{f(z)}{ {(z+a)}^{n+1 } }dz$

pero entonces solo tendría un coeficiente para cada serie no?

de esta serie $\dst \frac{1}{{(z+1)}^{ 2} }$ ahí tendría el coeficiente 1

sería así?

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Re: series de Laurent

Para cada valor de n tienes un coeficiente. Como hay infinitos n, tienes infinitos coeficientes.

[rupiopan]

Re: series de Laurent

pero como tenemos $\frac{1}{ {}^{ 2} }$

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Re: series de Laurent

Mira, si

$$f(z) = \frac{z}{(z-1)^2(z+4)^3} .$$

Entonces, los coeficientes de Laurent serían

$$c_n = \frac1{4\pi i} \oint \frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}} \dd z= \frac1{4\pi i} \oint \frac{z \dd z}{(z-a)^{n+1}(z-1)^2(z+4)^3} .$$

Fíjate que te dicen que |z| está entre 1 y 4. Por lo tanto, los términos adicionales del numerador adicionales que da f(z) no proporcionan ningún polo. Por lo tanto, el único polo que aparece es el de $z = a$.

[rupiopan]

Re: series de Laurent

oh sí! esa expresión es la que no veía, no había visto un ejemplo tan claro de como hacerlo.

mil gracias de verdad