1r ciclo Demostracion por induccion.

[_OJ_287_]

Muy buenas! Me piden que demuestre lo siguiente: (para x>0 y n un entero positivo)

${e}^{x }>1+x+\frac{{x}^{2 } }{2! } \ldots +\frac{{x}^{ n} }{n! }$

Teniendo ya demostrado que

${e}^{x }>1+x$ (es decir, para n=1)

El libro lo demuestra de la siguiente manera:

$g(t)={e}^{t }-1-t-\frac{{t}^{2 } }{ 2!}-\ldots -\frac{{t}^{n+1 } }{ (n+1)!}$

Luego aplica el teorema del valor medio:

$\frac{g(x)}{x }=\frac{g(x)-g(0)}{x-0 }=$ g´(c), para un c entre (0,x).

Luego dice que esto completa la induccion y ya esta, pero no acabo de entender por que.

Un saludo y mil gracias.

[Pepealej]

Re: Demostracion por induccion.

Hola _OJ_287_, no tengo muchos conocimientos acerca de lo que preguntas pero a lo mejor puedo ayudarte en alguna cosa, y esa cosa es la siguiente. Nota que:

$1+x+\frac{{x}^{2 } }{2! } \ldots +\frac{{x}^{ n} }{n! } =\displaystyle\sum_{k = 0}^n \displaystyle\frac{x^k}{k!}$

Conforme $n$ en ese sumatorio se va acercando a $+\infty$ el resultado cada vez se aproxima más a $e^x$. Así que podemos decir que:

$\displaystyle\sum_{k = 0}^{+\infty} \displaystyle\frac{x^k}{k!}=e^x$

No se si esto te ayuda, pero lo que yo puedo deducir es que ${e}^{x }>1+x+\frac{{x}^{2 } }{2! } \ldots +\frac{{x}^{ n} }{n! }$ se cumplirá puesto que el sumatorio del miembro de la derecha se acercará mucho a $e^x$ conforme aumenten sus términos sumados, aunque nunca llegará a ser prácticamente igual.

De todas formas no creo que esta sea una demostración por inducción muy 'correcta'. Sólo te la he comentado por si te servía de ayuda.

Saludos!

[_OJ_287_]

Re: Demostracion por induccion.

No es lo que me pedian pero gracias por haber intentado explicarme.

[Pepealej]

Re: Demostracion por induccion.

No hay de que. De todas formas si no es lo que te pedían, cuando tengas la respuesta ¿puedes explicarla brevemente? Siento curiosidad Gracias!

[_OJ_287_]

Re: Demostracion por induccion.

Hola!
Pues voy a intentar hacer algo(que ahora me parece que lo he entendido mejor)... la verdad es que el libro lo deja al libre entendimiento, y eso que voy a estudiar en la UNED!.
NO SE SI SERA CORRECTO LO QUE VOY A PONER AQUI!

Tenemos:${e}^{ x}>1+x+\frac{{x}^{2 } }{2! }+\ldots \frac{{x}^{k } }{k! }$

Antes de ese ejercicio venia otro en el que, como he dicho arriba, comprobabas que para k la igualdad es verdadera, la comprobamos:
para k=1: (esta tambien vale para todo x que no sea 0)
Nos queda pasando los terminos a un lado:

$f(x)={e}^{x }-1-x$. Pues el teorema del valor medio dice que:

$\frac{f(x)}{x }=\frac{f(x)-f(0)}{x-0 }=$ f´(c).
Existe un momento donde la derivada tiene el mismo valor que $\frac{\Delta f(x)}{\Delta x }$.
Por lo tanto g´(c)=${e}^{c }-1$
y $f(x)=x({e}^{c }-1)$ Si te das cuenta $f(x)$ siempre es positiva.

Pues ahora k+1 (las variables las cambia en el libro asi que las cambio ,pero no se porque lo hace).

$g(t)={e}^{t }-1-t-\frac{{t}^{2 } }{2! }-\ldots -\frac{{t}^{k+1 } }{(k+1)! }$.

Y antes teniamos: $u(t)={e}^{t }-1-t-\frac{{t}^{2 } }{2! }-\ldots -\frac{{t}^{ k} }{k! }$

Al aplicarle el TVM queda (sabemos que $g(0)=0$) :

$g(x)=x$g´(c).
Si te das cuenta g´(c)=u(c),
y si para k=1 valia, entonces por induccion, vale para cualquier k.

Bueno, esta es un poco mi paja mental. Seguro que hay errores, asi que si alguno se anima a corregirme bienvenido sea.
Saludos!