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Demostracion por induccion.

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  • 1r ciclo Demostracion por induccion.

    Muy buenas! Me piden que demuestre lo siguiente: (para x>0 y n un entero positivo)



    Teniendo ya demostrado que

    (es decir, para n=1)

    El libro lo demuestra de la siguiente manera:



    Luego aplica el teorema del valor medio:

    g´(c), para un c entre (0,x).

    Luego dice que esto completa la induccion y ya esta, pero no acabo de entender por que.

    Un saludo y mil gracias.
    Última edición por _OJ_287_; 07/07/2011, 14:47:39.
    ?

  • #2
    Re: Demostracion por induccion.

    Hola _OJ_287_, no tengo muchos conocimientos acerca de lo que preguntas pero a lo mejor puedo ayudarte en alguna cosa, y esa cosa es la siguiente. Nota que:



    Conforme en ese sumatorio se va acercando a el resultado cada vez se aproxima más a . Así que podemos decir que:



    No se si esto te ayuda, pero lo que yo puedo deducir es que se cumplirá puesto que el sumatorio del miembro de la derecha se acercará mucho a conforme aumenten sus términos sumados, aunque nunca llegará a ser prácticamente igual.

    De todas formas no creo que esta sea una demostración por inducción muy 'correcta'. Sólo te la he comentado por si te servía de ayuda.

    Saludos!
    Última edición por Pepealej; 07/07/2011, 22:19:27.

    Comentario


    • #3
      Re: Demostracion por induccion.

      No es lo que me pedian pero gracias por haber intentado explicarme.
      ?

      Comentario


      • #4
        Re: Demostracion por induccion.

        No hay de que. De todas formas si no es lo que te pedían, cuando tengas la respuesta ¿puedes explicarla brevemente? Siento curiosidad Gracias!

        Comentario


        • #5
          Re: Demostracion por induccion.

          Hola!
          Pues voy a intentar hacer algo(que ahora me parece que lo he entendido mejor)... la verdad es que el libro lo deja al libre entendimiento, y eso que voy a estudiar en la UNED!.
          NO SE SI SERA CORRECTO LO QUE VOY A PONER AQUI!

          Tenemos:

          Antes de ese ejercicio venia otro en el que, como he dicho arriba, comprobabas que para k la igualdad es verdadera, la comprobamos:
          para k=1: (esta tambien vale para todo x que no sea 0)
          Nos queda pasando los terminos a un lado:

          . Pues el teorema del valor medio dice que:

          f´(c).
          Existe un momento donde la derivada tiene el mismo valor que .
          Por lo tanto g´(c)=
          y
          Si te das cuenta siempre es positiva.

          Pues ahora k+1 (las variables las cambia en el libro asi que las cambio ,pero no se porque lo hace).

          .

          Y antes teniamos:

          Al aplicarle el TVM queda (sabemos que ) :

          g´(c).
          Si te das cuenta g´(c)=u(c),
          y si para k=1 valia, entonces por induccion, vale para cualquier k.

          Bueno, esta es un poco mi paja mental. Seguro que hay errores, asi que si alguno se anima a corregirme bienvenido sea.
          Saludos!
          Última edición por _OJ_287_; 08/07/2011, 03:50:30.
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