Secundaria ejercicio de limites (calculo)

[predator]

en realidad tengo dificultad al realizar la racionalizacion del ejercico


les estaria muy agradecido si alguien pudiese indicarme respecto a los pasos q deveria de realizar; devido a que a mi me sale q el limite no existe

[Mister Kroket]

Re: ejercicio de limites (calculo)

puedes probar a hacer un cambio a coordenadas polares es lo mas fácil supongo$x=\rho \cos \alpha$ , $y=\rho \sin \alpha$,
con lo que te queda un límite de una variable (el radio tiende a cero ) haces unos cáculos ves que depende del ángulo , entonces no existe el limite . Si hubiera dependido solo del radio si existiria , aquí esta mas claro http://www.dmae.upct.es/~plgomez/archivos%20docencia/mecanicateoria2006-07/tema10-limcontvvariables-a.pdf en la página 7 , lo encontré buscando en google

[Becquerel]

Re: ejercicio de limites (calculo)

Efectivamente, el límite no existe. De todos modos creo que lo verás más fácil sin necesidad de cambiar de coordenadas.

Puedes suponer que te acercas al límite siguiendo una recta cualquiera: $y = mx$

Por tanto, te quedará el límite de una variable que es sencillo de evaluar:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Y como sabes, si el límite existe, debe ser único. Por tanto, no puede depender del camino seguido. En este caso depende de la pendiente de la recta con la que nos acercamos, con lo que hemos probado que el límite no existe.

Un saludo!

[Al2000]

Re: ejercicio de limites (calculo)

Pues yo no veo que el límite no exista, sino que tiende a cero. Si lo hacen pasando a polares queda $\dst \lim_{r \to 0}\frac {8 r^3 \, \mathrm {sen}^2 \, \theta \cos \theta }{r^2} = 0$ y si lo hacen poniendo $y = mx$ queda $\dst \lim_{x \to 0}\frac {8 m x^3}{(1+m^2) x^2} = 0$

Saludos,

Al

[Becquerel]

Re: ejercicio de limites (calculo)

Tienes razón, en este caso el límite vale cero. Pero en general, este límite yo creo que no existe.

[pod]

Re: ejercicio de limites (calculo)

Tienes razón, en este caso el límite vale cero. Pero en general, este límite yo creo que no existe.

"Este límite" es un caso particular. O existe o no existe. No puede existir pero en general no existir, porque no es un caso general, es un caso particular.

Tomar los límites reiterados, o tomar una trayectoria concreta, sólo sirve para demostrar que cierto límite no existe. Si todas las opciones probadas dan el mismo resultado, aún no podemos asegurar que el límite exista ya que no hemos probado las infinitas trayectorias que existen. La única opción es recurrir a la definición. Hay que demostrar

$$\left| \frac{8 x y^2}{x^2 + y^2} - 0 \right| < \varepsilon \ , \quad \text{cuando}\ 0 < \sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2} < \delta .$$

por comodidad redefino $\epsilon = \varepsilon/8$, ya que el 8 no pinta nada. Puedo reescribir

$$\frac{ |x| y^2}{x^2 + y^2} < \epsilon \ , \quad \text{cuando}\ 0 < x^2 + y^2 < \delta^2 .$$

Multiplicando por el denominador, puedo hacer la cadena de desigualdades

$$\epsilon (x^2 + y^2) < \epsilon \delta^2 .$$

Por tanto

$$|x| y^2 < \epsilon \delta .$$

Ahora, se trata de buscar una cota superior a $|x| y^2$ dentro del circulo de radio $\delta$. Como sabemos que la desigualdad anterior se debe cumplir para todos los valores de x e y, entonces también se cumplirá para el valor máximo.

Una forma de buscar una cota es hallar el máximo de la función en la región. Como es una función creciente con el radio polar, entonces no tiene máximos relativos en la región. El máximo, por tanto, estará en la frontera, y podemos hacer multiplicadores de lagrange (serviría cualquier otro método también, claro). Obtenemos que

$$|x| y^2 < \frac{2\delta^3}{3\sqrt 3} .$$

Por lo tanto, lo que se debe cumplir es

$$\frac{2\delta^3}{3\sqrt 3} < \epsilon \delta .$$

O, lo que es lo mismo,

$$\delta < \sqrt{ \frac{3 \epsilon}{2} \sqrt 3 } .$$

Vemos que para cada $\epsilon$ es posible encontrar un $\delta > 0$, tal que el valor de la función no se aleja demasiado de 0, que es lo que pide la definición de límite.

Es decir, este límite concreto existe y vale 0.

[Becquerel]

Re: ejercicio de limites (calculo)

Es verdad.

Creo que te agradecemos todos la explicación, porque siempre es muy pesado trabajar con la definición de límite en cálculo multivariable.

[predator]

Re: ejercicio de limites (calculo)

bueno peus muchas gracias a todos; y solo decirles q lo resolvi de ambas formas