1r ciclo Números Complejos

[Raices]

Hola a todos.

Me gustaría que me ayudarais con un problema de números complejos.

"Halla b(Real) y las soluciones de la ecuación z^3-z^2+b*z-3=0, con z (complejo). Sabiendo que una de las soluciones tiene parte real nula."

Muchas Gracias.

[pod]

Re: Números Complejos

Una de las opciones es tomar la solución de la ecuación de tercer grado (que es monstruosa) y tomar la parte real de una solución, lo cual te dará una ecuación para b.

Otra opción más económica es tomar la solución imaginaria pura, $z = i y$, y substituir

$$- i y^3 + y^2 + b i y - 3 = 0.$$

Esto nos da dos ecuaciones, una para la parte real y otra para la imaginaria,

$$\begin{aligned}<br /> y^2 - 3 & = 0 \ , \\<br /> -y^3+b y = 0 \ .<br /> \end{aligned}$$

La primera implica que $y = \pm \sqrt 3$. La segunda, ante la imposibilidad que y sea nulo (no se cumpliría la primera ecuación), implica $b = y^2 = 3.$. Por lo tanto, $b = 3$ y una solución es $z = \sqrt 3 i$ (de hecho, sabemos también otra solución, $y = - \sqrt 3 i$). Ahora, puedes dividir el polinomio original por $(z - \sqrt 3 i)$ y obtendrás una ecuación de segundo grado que será sencilla de resolver. Alternativamente, puedes hacer Ruffini con la solución dada (es un Ruffini un poco raro porque es una solución imaginaria y además imaginaria, pero la idea es la misma).

Si aplicas una vez Ruffini, con una de las soluciones conocidas, te quedará una ecuación de segundo grado, que ya sabrías resolver. Si lo aplicas por segunda vez te quedará una ecuación lineal, que resolverás de forma trivial. Si no me equivoco, la tercera solución es z = 1 (tenía que ser real por fuerza, una ecuación de tercer grado con coeficientes reales siempre tiene dos soluciones conjugadas y una real).

[Al2000]

Re: Números Complejos

Como $y = \pm \sqrt 3 \,i$ son dos de las raices del polinomio, se puede dividir entre $(z-\sqrt 3 \, i)(z + \sqrt 3\,i) = z^2 + 3$ para obtener inmediatamente $z-1$ como cociente.

Saludos,

Al

[Raices]

Re: Números Complejos

Muchas gracias. YA me ha quedado claro.