1r ciclo No sé distinguir cuando dos series son convergentes o divergentes en la resta y suma

[alba91]

Buenos dias
mi duda es que si tengo la suma o resta de dos series qué son por separado o juntas
Según mis apuntes:
si la serie an y la serie bn convergen por separado: la suma o resta converge
si la serie an converge y bn diverge: la suma o resta divergen
si la serie an diverge y bn diverge: la suma diverge y la resta no se sabe

Pero en un examen resuelto, tengo esto:

si bn < = an < = 0 para toda n perteneciente a N y la serie bn converge, entonces: la serie an converge

No entiendo porque an converge

¿Está bien todo lo que he puesto anteriormente?
muchisimas gracias de antemano!!

[polonio]

Re: No sé distinguir cuando dos series son convergentes o divergentes en la resta y suma

Lo que se dice en el examen resuelto es el criterio de la mayorante... pero está al revés: si $\dst 0\leqslant a_n\leqslant b_n, \,\forall n\in \mathbb{N}$ y $\dst \sum_{n = 0}^\infty b_n$ converge, entonces $\dst \sum_{n = 0}^\infty a_n$ converge y, por otro lado, si $\dst \sum_{n = 0}^\infty a_n$ diverge, entonces $\dst \sum_{n = 0}^\infty b_n$ diverge.

Y las propiedades de suma (y resta) de series que escribes primero se pueden demostrar a partir de este criterio, pero no es lo mismo.

[alba91]

Re: No sé distinguir cuando dos series son convergentes o divergentes en la resta y suma

Pero entonces en mi test de examen, como dice si bn < = an < = 0 y es al revés, en lugar de decir a) divergente. b) convergente, c) ninguna de las anteriores
tendría que poner ninguna de las anteriores porque es 0 < = an < = bn y no bn < = an < = 0. ¿No?

[polonio]

Re: No sé distinguir cuando dos series son convergentes o divergentes en la resta y suma

Bueno, ahora que lo pienso, te están dando lo mismo pero para una serie que es de términos (todos) negativos (qué rebuscadillos)... así que es correcto. Si la serie que converge es la de los $\dst b_n$ (que es la mayor en valor absoluto), la serie de términos $\dst a_n$ converge.

[pod]

Re: No sé distinguir cuando dos series son convergentes o divergentes en la resta y suma

si la serie an diverge y bn diverge: la suma diverge y la resta no se sabe

La suma tampoco se sabe, podría ser que una serie fuera de términos negativos.

¿A no ser que estés hablando de convergencia absoluta?

[alba91]

Re: No sé distinguir cuando dos series son convergentes o divergentes en la resta y suma

La suma tampoco se sabe, podría ser que una serie fuera de términos negativos.

¿A no ser que estés hablando de convergencia absoluta?

Si ambos fuesen en valor absoluto, con que uno diverga (aunque el otro converja) la suma y diverge, la resta no se sabe
y si ambos divergen la suma tambien, no?

si no fueran en valor absoluto y habria alguna serie de terminos negativos habria que ir mirando no?

[pod]

Re: No sé distinguir cuando dos series son convergentes o divergentes en la resta y suma

Si ambos fuesen en valor absoluto, con que uno diverga (aunque el otro converja) la suma y diverge, la resta no se sabe
y si ambos divergen la suma tambien, no?

En general, en valor absoluto, el único caso "dudoso" es la resta de dos series absolutamente convergentes. El resto de casos, haya una o dos series divergentes, siempre divergen.

Sin valor absoluto, son dudoso todos los casos con dos series divergentes. Por ejemplo

$$\sum_n n + \sum_n (-n)$$

es una suma de series divergentes, y (al menos en "valor principal") parece claro que da cero.