1r ciclo ¿Está definida esta operación?

[skinner]

Buenas. Necesito saber si esta operación está definida para numeros Reales (cuando a<0):

$\dst {\left( \frac{\sqrt{a}}{3} \right) }^{2}$

¿Qué ocurre cuando a<0? ¿Se obtiene la misma solución cuando a=-16 que cuando a=16? Qué se computa antes, ¿la raíz o la potencia? ¿O es indiferente?

Muchas gracias por resolverme esta duda.

Un saludo!

[Cat_in_a_box]

Re: ¿Está definida esta operación?

Hola skinner,

Pues no, creo que no es indiferente. En primer lugar diría que se computa la potencia, es decir, te quedaría que:

$$\dst {\left( \frac{\sqrt{a}}{3} \right) }^{2}=\dst\frac{(\sqrt{a})^2}{3^2}=\dst\frac{a}{9}$$

Por tanto, si es a es menor que cero, el resultado será negativo. Fíjate con el 16, el ejemplo que dices:

$$\dst {\left( \frac{\sqrt{16}}{3} \right) }^{2}=\dst\frac{(\sqrt{16})^2}{3^2}=\dst\frac{16}{9}$$

$$\dst {\left( \frac{\sqrt{-16}}{3} \right) }^{2}=\dst\frac{(\sqrt{-16})^2}{3^2}=-\dst\frac{16}{9}$$

Saludos,

[skinner]

Re: ¿Está definida esta operación?

Muchas gracias creo que me has solucionado la duda. Pero aún queda otra, te cuento:

Según me dices, $\dst\frac{(\sqrt{-16})^2}{3^2}\neq \dst\frac{(\sqrt{16})^2}{3^2}$. Pero si en ambos casos metes el cuadrado dentro de la raíz, ambos serían positivos e iguales. Entonces la duda es más profunda: ¿por qué dices que se computa primero la potencia y luego la raíz? ¿Hay alguna forma de demostrarlo?

Muchas gracias de nuevo.

Un saludito!

[Cat_in_a_box]

Re: ¿Está definida esta operación?

Hola de nuevo,

¿Quieres decir ésto?

$$\dst\frac{\left(\sqrt{a}\right)^2}{3^2}=\dst\frac{\sqrt{a^2}}{3^2}$$

Bueno, pues esta igualdad es verdadera sí y sólo sí $\boxed{a>0}$

Fíjate, nos quedamos sólo con el numerador ya que el denominador es igual. Te darás cuenta que no es lo mismo, si a toma valores negativos:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Observamos que la igualdad es verdadera si toma valores positivos. Ahora bien, ¿y si hacemos que $a=-5$?

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Lo que pasa es que la proposición $\sqrt{a^2}=\left(\sqrt{a}\right)^2$ sólo es cierta si $a>0$.

Saludos,

[arreldepi]

Re: ¿Está definida esta operación?

Hola, también puedes pensarlo así:

Para a>0, está claro el procedimiento. Y para a<0

$$\left(\frac{\sqrt{-|a|}}{3}\right)^2=\left(\frac{i\sqrt{|a|}}{3}\right)^2 = -\frac{|a|}{9}$$

Primero operamos con lo que hay dentro del paréntesis y luego hacemos las potencias.

Saludos!

[skinner]

Re: ¿Está definida esta operación?

Mil gracias a los 2. Duda solucionada.

Arreldepi, tu forma de ver la operación me parece bastante rigurosa y por tanto, creo que es la que voy a utilizar de ahora en adelante

Un saludo a los dos y gracias de nuevo!

[pod]

Re: ¿Está definida esta operación?

Mil gracias a los 2. Duda solucionada.

Arreldepi, tu forma de ver la operación me parece bastante rigurosa y por tanto, creo que es la que voy a utilizar de ahora en adelante

Un saludo a los dos y gracias de nuevo!

Si quieres ser más riguroso, $\sqrt{-|a|} = \pm i \sqrt{|a|}$.