Momento de inercia

[[Beto]]

Hola, se que debe de ser algo sencillo pero no recuerdo muy bien, supongamos que se tiene la siguiente curva $y=ax^2$, y se la hace rotar en torno al eje $Y$ por ejemplo, se que para calcular el momento de inercia de un determinado intervalo, se usa lo siguiente:

$$I_y=\iiint(x^2+z^2)\rho_{(x,y,z)}\dd x\dd y\dd x$$

Donde $\rho_{(x,y,z)}$ es la densidad y los límites de integración se calculan según sea el intervalo dado.

Si no recuerdo mal el momento de inercia calculado de esa forma corresponde al del sólido de revolución generado por esa curva, la duda que tengo es como se calcularía el momento de inercia de la superficie de revolución generada por esa curva.

Gracias

[pod]

Re: Momento de inercia

Si lo que pretendes es calcular el momento de inercia respecto del eje de revolución, lo mejor es utilizar coordenadas cilíndricas, $(r,\ \theta,\ y)$. La superficie de revolución es $y = a r^2$.

Lo normal en este caso sería definir la densidad superficial de masa, $\sigma$, e integrar:

$$I = \iint r^2 \cdot \sigma r\dd\theta\dd r = 2\pi\sigma \int (y/a)^{3/2} \frac{\dd y}{2\sqrt{ay}} = \frac{\sigma\pi}{a^2} \int y \dd y .$$

Si lo que te preocupa es la relación entre la fórmula general (volumétrica) y ésta, es simplemente una delta de Dirac,

$$\rho(x,y,z) = \sigma \ \delta (y-a r^2) \ .$$

Se integra teniendo en cuenta

$$\int \dd x \ g(x) \delta\big(f(x)\big) = \frac{g(x_0)}{|f'(x_0)|} \ .$$

Donde $x_0$ es la raíz de $f(x)$. En este caso debemos integrar respecto de $r$, y la raíz es $r_0 = \sqrt{y/a}$,

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[[Beto]]

Re: Momento de inercia

Si lo que pretendes es calcular el momento de inercia respecto del eje de revolución, lo mejor es utilizar coordenadas cilíndricas, $(r,\ \theta,\ y)$. La superficie de revolución es $y = a r^2$.

Lo normal en este caso sería definir la densidad superficial de masa, $\sigma$, e integrar:

$$I = \iint r^2 \cdot \sigma r\dd\theta\dd r = 2\pi\sigma \int (y/a)^{3/2} \frac{\dd y}{2\sqrt{ay}} = \frac{\sigma\pi}{a^2} \int y \dd y .$$

En esta parte, ¿el diferencial de área en coordenadas cilíndricas no sería $\dd A=r\dd \theta\dd y$ y no $\dd A=r\dd \theta\dd r$?

[pod]

Re: Momento de inercia

En esta parte, ¿el diferencial de área en coordenadas cilíndricas no sería $\dd A=r\dd \theta\dd y$ y no $\dd A=r\dd \theta\dd r$?

En realidad, ninguno de los dos... Si nos acordamos de la teoría fundamental de integrales de superficie, hay que hacer el producto vectorial fundamental de la superficie; aunque a menudo, para superficies sencillas, se puede intentar adivinar el resultado a ojo. El hecho de que el cálculo con la delta de Dirac me diera igual me llevó a pensar que lo había adivinado bien... pero no es así. Me ha llevado toda la tarde razonar por qué el cálculo con la delta está mal, pero creo que ya lo tengo. Bueno, vamos por partes.

Si parametrizamos una superficie mediante dos parámetros $u$ y $v$, es decir, tenemos un vector $\vec{r}(u,v)$, entonces el elemento de superficie se escribe

$$\dd A = \left| \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} \right| \dd u \dd v \ .$$

Si elejimos $\theta$ y $r$ como parámetros, la superfície será $\vec{r} = (r\cos\theta,\ a r^2,\ r\sin\theta)$, y entonces tenemos

$$\dd A = r \sqrt{ 1 + 4 a^2 r^2 } \dd r \dd \theta \ .$$

Si por lo contrario, elegimos $\theta$ e $y$ como parámetros, la superficie será $\vec{r} = ( y/a \cos\theta,\ y,\ y/a \sin\theta)$, y el elemento de área

$$\dd A = r \sqrt{1+\frac{1}{4az}} \dd y \dd \theta \ .$$

Aunque estas expresiones sean diferentes, al ser integradas en los límites correctos, dará lo mismo.


Ahora bien, ¿por qué no da bien el cálculo con la delta? Pues por que la ecuación (2) de mi anterior mensaje está mal. Si te fijas en la integral (4) de ese mismo mensaje, podríamos haber decidido hacer primero la integral en $y$... y la delta no habría arrojado ningún factor extra: es decir, esa forma de tomar la densidad otorga la misma masa en todos los intervalos de $y$. Eso no es correcto: dado que la superficie no es plana, sinó que se inclina más cuan mayor es el valor de $y$, la masa encerrada entre $y$ e $y+\dd y$ debe decrecer, no permanecer constante. Es decir, la forma correcta de tomar la densidad será

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
donde $f(y)$ es una función encargada de corregir el efecto comentado. De hecho, comparando con las expresiones anteriores en este mismo mensaje, debería ser fácil encontrar la expresión de $f(y)$ (o de $f(r)$, si tomamos el radio como parámetro).

Claro, yo estaba acostumbrado a utilizar superfícies más simples (planos, rectas, cilindros, etc), donde estas sutilezas no aparecen.

[jo0000se]

Re: Momento de inercia

Una duda estúpida por mi parte.... en la definición que has dado de la parametrización del diferencial de Área dada una parametrización... como tomas el valor absoluto de un producto vectorial, eso no da un vector? Quiero decir, tomas el valor absoluto de cada componente o como funciona eso?

Por otra parte, si no tienes una parametrización y tienes una expresión explícita en coordenadas cartesianas de la curva... la deficinión del diferencial de área es

dA * cos(a) = dx dy
el coseno en principio sale del producto escalar del vector unitario a la superficie normalizado y el eje normal a dx y dy. Entonces cómo porras planteo la integral????

el vector dA es igual a el vector normal unitario a la superficie por dA (no vector). Si hago

int (F . n / ||n|| * dx dy / cos(a) ) .... estoy haciendo lo mismo que con la parametrización p(i, j):
int (F(p) . (Ti x Tj) di dj)
???????????????

[[Beto]]

Re: Momento de inercia

[quote=jo0000se;17470]Una duda estúpida por mi parte.... en la definición que has dado de la parametrización del diferencial de Área dada una parametrización... como tomas el valor absoluto de un producto vectorial, eso no da un vector? Quiero decir, tomas el valor absoluto de cada componente o como funciona eso?
quote]

No lo que se esta haciendo ahí es un cambio de coordenadas del sistema cartesiano al sistema de coordenadas u,v.

[jo0000se]

Re: Momento de inercia

estaba haciendo un par de comprobaciones... y a ver si me salen las cuentas... sea v el vector perpendicular a dx y dy (0, 0, 1). y sea n el vector perpendicular a la superfície que estamos trabajando, cos (a) = (n.v)/||n||. n.v nos retorna la componente del vector perpendicular en la dirección del vector v.

Al sustituir en la formulita de la integral de superfície que he planteado en el post anterior... la norma de n se simplifica y nos queda la función en sí multiplicada por el vector n escalarmente por un factor que corresponde a la componente perpendicular a dx y dy del vector n... es eso?

[jo0000se]

Re: Momento de inercia

No lo que se esta haciendo ahí es un cambio de coordenadas del sistema cartesiano al sistema de coordenadas u,v.

no me cuadra... si fuera un cambio de variable como me dices, eso sería un determinante de una matriz... lo cual da un escalar. Al hacer la integral, un escalar por un vector no va a darnos un escalar que es lo que pretendemos integrar.

[[Beto]]

Re: Momento de inercia

no me cuadra... si fuera un cambio de variable como me dices, eso sería un determinante de una matriz... lo cual da un escalar. Al hacer la integral, un escalar por un vector no va a darnos un escalar que es lo que pretendemos integrar.

El producto vectorial lo puedes representar por un determinante que te da un vector ¿Cierto?, si le tomas el modulo te dará un escalar.

[jo0000se]

Re: Momento de inercia

Toma ya! En toda la boca.... soy un inútil, lo siento. .

Estoy precisamente estudiando eso ahora mismo y voy bastante pez, voy a echarle un ojo y a mirarmelo algo mejor y en todo caso luego abro un post a ver si soy capaz de sacar algo en claro.

Disculpa las molestias!!!

[pod]

Re: Momento de inercia

Pues lo que te ha dicho neofebo, un vector no tiene valor absoluto (es una chorrada tomar el valor absoluto de cada componente). Ese símbolo se refiere al módulo, que se calcula elevando al cuadrado cada componente, sumándolas y tomando la raíz cuadrada.

[jo0000se]

Re: Momento de inercia

Lo sé, lo sé... es que yo tenía en mente que de ahí debía salir un vector y claro, yo ahí no veía una norma , porque entonces aparecía un escalar que yo no esperaba ver... lapsus estúpido, disculpad.