Divulgación Derivacion de logaritmos naturales.

[motamendez]

Bueno aqui les traigo un problemita medio complicado que me puso a pensar bastante jeje

hallar la derivada de la siguiente funcion



NO ME INTERESA LA PRIMERA SINO LA SEGUNDA

me da un resltado bastante diferente al que me da de la pagina de world fram alpha
a ver si me pueden dar una ayuda desarrollandola porque parece que hago
mal algo y no se que exactamente es..

[Cat_in_a_box]

Re: Derivacion de logaritmos naturales.

Hola motamendez,

Pues probablemente sí que te dé como el programa que dices, sólo que él te lo dará de una forma mucho más simplificada de la que has dejado tú. De todas formas, voy a ir paso por paso, de modo que veas si te has confundido en alguna parte, y ya el resto lo puedes simplificar con algo de paciencia.

$$f(x)=\ln\left[\dst\frac{x(x^2+1)^2)}{\sqrt{2x^3-1}}\right]$$

Tenemos que la derivada de esta función va a ser, el cociente de la derivada de la función entre la función sin derivar, es decir:

$$f'(x)=\dst\frac{\left[\dst\frac{x(x^2+1)^2)}{\sqrt{2x^3-1}}\right]'}{\dst\frac{x(x^2+1)^2}{\sqrt{2x^3-1}}}$$

Vamos a hacer la derivada del numerador, ya que el denominador se va a quedar como está. Vemos que es un cociente, por lo que la derivada será: la derivada del numerador, por el denominador sin derivar, menos la derivada del denominador por el numerador sin derivar, partido del denominador al cuadrado (se nos irá la raíz). De igual modo, tenemos en el numerador un producto, que hemos de tener en cuenta:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Por tanto, tienes que:

$$\dst\frac{(x^2+1)^2+x\left[4x(x^2+1)\right]\sqrt{2x^3-1}-x(x^2+1)^2\dst\frac{3x^2}{\sqrt{2x^3-1}}}{2x^3-1}$$

Si no me he dejado algún cuadrado o algo, creo que ya estaría. He procurado poner algunos paréntesis que no harían falta para que distingas los pasos para hacer la derivada. Y todo eso lo tendrías como numerador y como denominador la función sin derivar (claro está, sin el logaritmo neperiano). La cuestión es ya simplificar.

Saludos,

[motamendez]

Re: Derivacion de logaritmos naturales.

Exactamente ahi yo la dejo...pero me pongo a tratar de simplificarla y me sale mal >S

[motamendez]

Re: Derivacion de logaritmos naturales.

gracias

[motamendez]

Re: Derivacion de logaritmos naturales.

hay que tomar otra cosa en cuenta....todo ese resultado es solamente U' prima...osea que tambien debajo de todo eso va la funcion normal.......deberiamos de simplificar eso bien :*(

[Cat_in_a_box]

Re: Derivacion de logaritmos naturales.

Hola de nuevo,

Pues la verdad es que simplificar en esta expresión es bastante tedioso. De todas formas, si el ejercicio te pide simplemente hallar la derivada, yo lo dejaría tal cual (a menos que alguna simplificación sea muy obvia) ya que no te dicen que expreses tu resultado simplificado, vamos, que lo que te interesa es la derivada de esa función.

Aún así, me he entretenido un poco haciendo cálculos y a lo más simplificado que llego es a esta expresión:

$$f'(x)=\dst\frac{\left(\dst\frac{5x^2}{\sqrt{2x^3-1}}-\dst\frac{3x^5}{(2x^3-1)^{3/2}}-\dst\frac{3x^3}{(2x^3-1)^{3/2}}+\dst\frac{1}{\sqrt{2x^3-1}}\right)\sqrt{2x^3-1}}{x(x^2+1)}$$

Saludos,

[pod]

Re: Derivacion de logaritmos naturales.

Otra forma, probablemente algo más simple, consiste en utilizar las propiedades de los logaritmos antes de derivar. Por ejemplo,

$$f(x) = \ln x + 2 \ln (x^2 + 1 ) - \frac12 \ln (2x^3 - 1 ) .$$

Esto es mucho más sencillo de derivar ya que no hay ninguna fracción, sólo reglas de la cadena,

$$f'(x) = \frac1 x + 2 \frac{2x}{x^2 + 1} - \frac12 \frac{6x^2}{2x^3 - 1} .$$

Aunque no lo parezca, esto es equivalente al ladrillo de Cat (siempre que no me haya equivocado yo, claro).

[Cat_in_a_box]

Re: Derivacion de logaritmos naturales.

Muchas gracias pod, no había caído en ese método