1r ciclo Algun problema de Aplicacion de las integrales que me puedan proporcionar

[MonsterV]

Que tal estoy buscando problemas de la vida cotidiana o de ciencia de preferencia en el que solucion de este problema se resuma a resolver una integral, o algun libro del que pueda sacar estos problemas y que no sea el libro de James Stewart. Gracias.

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Re: Algun problema de Aplicacion de las integrales que me puedan proporcionar

Hola MonsterV,

¿A qué te refieres exáctamente con aplicación de las integrales? Es un tema tan extenso... Por decirte algunas: cálculo de áreas planas, áreas en coordenadas polares, volúmenes (si bien el instrumento natural para calcular volúmenes son las integrales múltiples del cálculo en varias variables, pero para hallar algunos basta utilizar integrales de funciones de una variable), valores medios de una función en un intervalo, trabajo de una fuerza variable, centros de gravedad, momentos de inercia...

Como ves, es una herramienta muy muy útil. Imagino que en cualquier libro de Cálculo, vendrán todas estas aplicaciones. Si tiens interés en algún ejemplo de las integrales aplicadas al cálculo de lo que te he puesto arriba, no dudes en preguntar

Saludos,

[pod]

Re: Algun problema de Aplicacion de las integrales que me puedan proporcionar

Calcula el volumen de un huevo. Puedes modelarlo como un elipsoide de revolución.

[MonsterV]

Re: Algun problema de Aplicacion de las integrales que me puedan proporcionar

Pues se ve interesante el de centros de gravedad y el de trabajo en una fuerza variable a ver si me puedes proporcionar alguno de estos dos de preferencia no tan complejo gracias

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Re: Algun problema de Aplicacion de las integrales que me puedan proporcionar

Hola de nuevo,

Pues se ve interesante el de centros de gravedad y el de trabajo en una fuerza variable a ver si me puedes proporcionar alguno de estos dos de preferencia no tan complejo gracias

Para calcular el trabajo realizado por una fuerza variable no tienes más que aplicar la propia definición de trabajo, siendo esta:

$$W^F_{A,B}=\dst\int_{A}^B \vec F\cdot \mathrm{d}\vec r$$

Así pues, si quieres calcular el trabajo necesario para estirar un muelle una longitud a, desde su posición de equilibrio:

$$W^F_{0,a}=\dst\int_{0}^{a} \mathrm{k}x\mathrm{d}x=\dst\frac{1}{2}\mathrm{k}a^2$$

Para calcular los centros de graverdad y los momentos de inercia, debes tener en cuenta la densidad lineal del objeto que deseas, por ejemplo el de una varilla. Así pues, si queremos calcular el centro de gravedad y el momento de inercia de una varilla de densidad lineal $\rho(x)$ que ocupa una longitud de a a b, siendo su masa m:

$$m=\dst\int_{a}^{b}\rho(x)\mathrm{d}x$$

Así pues, su centro de graverdad $x^*$ será:

$$x^*=\dst\int_{a}^{b}x\rho(x)\mathrm{d}x$$

Y su momento de inercia:

$$I=\dst\int_{a}^{b}x^2\rho(x)\mathrm{d}x$$

La verdad es que para calcular momentos de inercia, el tratamiento es algo más complejo, pues debes saber si se trata de distribuciones discretas de masa (en este caso sólo tendrías que hacer sumatorios) o distribuciones continuas de masa (donde hay que integrar). La integral que calculas, es de volumen, luego tendrías que ser una integral triple, extendida a todas las dimensiones del objeto, pero para eso hay que recurrir al cálculo en varias variables. De este modo, se supone que es una varilla muy delgada que tiene toda su masa concentrada en una dimensión...Se me olvidaba que también puedes calcular el centro de masas de cualquier distribución continua de masa utilizando la integral definida.

Supongamos que deseamos hacerlo para la varilla del ejemplo anterior. Definimos su densidad lineal como:

$$\rho=\dst\frac{m}{L}$$

Siendo L la longitud de la varilla, y suponiendo que la densidad lineal es la misma para todos los puntos de ésta. Así pues:

$$m_Tx_{CM}=\dst\int x\mathrm{d}m=\dst\int_{0}^{L} x\rho \mathrm{d}x=\rho\dst\int_{0}^L x\mathrm{d}x=\rho\left[\dst\frac{x^2}{2}\right]_{0}^L = \dst\frac{m}{L}\dst\frac{L^2}{2}=\dst\frac{mL}{2}$$

Así pues, la posición del centro de masas de la varilla vendrá dada por:

$$m_Tx_{CM}=\dst\frac{mL}{2}\Rightarrow \boxed{x_{CM}=\dst\frac{L}{2}}$$

Por supuesto en la dirección y la posición del centro de masas es cero, es decir, $y_{CM}=0$
. Como ves, el centro de masas de la varilla estaría situado en la mitad de ésta.

Saludos,