1r ciclo Integral compleja

[dvc]

Hola, me ha surgido una duda a raíz de un ejercicio hecho en clase. Se trata de calcular la integral de la siguiente función (compleja):

$f(z)=\frac{cos^3(z)}{ z}$

A lo largo de la circunferencia unidad ($\left\vert{z} \right\vert{}=1$). Para resolverlo, se ha usado la fórmula integral de Cauchy:

${\oint}_c \frac{g(z)}{ z-z_0}=2\pi i g(z_0)$

Obteniendo por tanto, que el resultado de la integral es:
$I=2\pi i$

No obstante, según tengo entendido el $cos^3(z)$ es una función par ($cos^3(-z)=cos^3(z)$) mientras que z es una función impar. Por tanto, la función f será una función impar (es decir, $f(-z)=-f(z)$).

Por tanto, si integramos f(z) a lo largo de la circunferencia, para cada z existe también un -z, donde el valor de la función será el opuesto que en z . Por tanto, la suma total (la integral) debería dar cero.

¿Alguien me podría explicar qué error hay en mi planteamiento?

Gracias!

[Al2000]

Re: Integral compleja

$z$ es impar pero $z - z_0$ no es ni par ni impar...

[dvc]

Re: Integral compleja

No entiendo lo que quieres decir.

En la función f que hay que integrar no aparece $z_0$ por ningún lado (o, equivalentemente, $z_0=0$).

Por eso, al usar la fórmula integral de Cauchy obtenemos que:

${\oint }_c\frac{cos^3(z)}{ z-0}=2\pi cos^3(0)=2\pi i$.

Pero la función $f(z)=\frac{cos^3(z)}{ z}$ sí que es impar.

[pod]

Re: Integral compleja

Los argumentos de simetría no son directamente aplicables a las integrales de línea. La forma de hacerlos es pasar a una integral donde la variable de integración es real. Por ejemplo, podemos hacer $z = \eee{i\theta}$. En este caso, $\dd z = \eee{i\theta} i \dd \theta$. Con lo cual

$$i \int_0^{2\pi}\!\!\!\cos^3 \eee{i\theta}\dd \theta .$$

Aquí el integrando es obvio que el integrando no es impar.

[dvc]

Re: Integral compleja

¡Muchas gracias Pod!
Parece ser que Cauchy tenía razón jeje.
¡Un saludo!