Otras carreras Integrales en recintos

[AlejandroR]

Hola, tengo unos ejercicios que no sé muy bien si como se pueden hacer a ver si me podéis ayudar:

Sobre el recinto $R={(x,y)\in R^2/x^2+(y-1)^2\leqslant 1,x\geqslant 0}$ halla la funcion $h(x,y)=\frac{\sqrt{2y^2+x^2} }{ y}$

este ejercicio los limites es de$\int_{0}^{x}\int_{x^2+(y-1)^2}^{1}dxdy$??, pero si es así en la 2º integral queda en función de x, y no es el resultado así

después el 2º ejercicio:

Calcula la integral $\int\frac{xdxdy }{ 4x^2+y^2}$ donde está la región del primer cuadrante limitada por los ejes coordenados y las elipses $4x^2+y^2=16, 4x^2+y^2=1$ ahí , tiene 2 curvas de radio 16/4, y 1/4? y los limites serian de 1/4 a 16/4 y de 0 a pi/2??


y el 3º ejercicio:

Calcula la integral [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] en los recintos [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


este como se hace??

[kuvala]

Re: Integrales en recintos

Hola Buenas :

1.- Primera integral

Si te das cuenta, el recinto es una circunferencia de radio unidad desplazada a lo largo del eje Y, es decir, tendría el centro en C=(0,1). Además, nos indica el enunciado que debemos coger sólo valores iguales o mayores que cero, por tanto, el recinto será la semicircunferencia de radio unidad y con centro el que hemos dicho en el primer cuadrante.

Según esto, el recinto sería:

$y \in [0,2]$

$0\leqslant x\leqslant \sqrt{1-(y-1)^2}$

Y la integral:

$\int_{0}^{2}\int_{0}^{\sqrt{1-(y-1)^2}}dxdy$


2.- Segunda Integral

En esta, el recinto está delimitado por dos elipses, una con semieje mayor sobre el eje Y y de magnitud 4 (b=4) y con semieje menor sobre el eje X de valor 2 (a=2) (ecuación de la elipse mayor: ${(\frac{x}{2 } )}^{2 }+{(\frac{y}{4 } )}^{2}=1$); por otro lado, tenemos otra elipse más pequeña con semieje mayor también sobre el eje Y de tamaño 1 y semieje menor sobre el eje X de tamaño 1/2 (La ecuación de la elipse pequeña sería: $\dst {(\frac{x}{\frac{1}{2 } }) }^{2 }+{y}^{ 2} =1$

Entonces el recinto sería el siguiente:

$x\in [0,2]$

$4x^2+y^2=1$ $\to$ ${y}_{ 1} =\sqrt{1-4x^2}$

$4x^2+y^2=16$ $\to$ ${y}_{2 } =\sqrt{16-4x^2}$

La integral sería:

$\dst \int_{0}^{ 2} \int_{\sqrt{1-4x^2}}^{\sqrt{16-4x^2} } \frac{xdydx }{ 4x^2+y^2}$

3.-Tercera Integral

El recinto de integración H es exactamente el mismo que el de la Primera Integral. Por otro lado, el recinto de integración E es una circunferencia de radio unidad centrada en el origen, por tanto, el recinto de integración sería:

$x\in [-1,1]$

$-\sqrt{1-x^2}\leqslant y\leqslant \sqrt{1-x^2}$

En la integral sería:

$\dst \int_{-1}^{1 }\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{ \sqrt{1-x^2}}\frac{x}{ \sqrt{x^2+y^2}}{e}^{\sqrt{x^2+y^2} } dydx$

Un consejo: No he visto cuál es la forma más fácil de resolver las integrales según el correspondiente reciento, pero viendo que todos son curvilíneos, yo utilizaría un cambio a polares. En las integrales 1 (cuidado con el cambio en esta integral, puesto que el recinto está desplazado del origen) y 3 sería el cambio $x=rcos\theta$, $y=rsin\theta$, para el correspondiente $r$ y $\theta \in [0,\frac{\pi }{2 } ]$.
Para la integral 2 utilizaría un cambio elíptico, $x=arcos\theta$, $y=brsin\theta$, con el correspondiente $a,b,r$ y $\theta \in [0,\frac{\pi }{2 } ]$

PD: No te olvides el jacobiano

Espero haberte sido de ayuda.

Un Saludo