1r ciclo integral de volumen

[JLace]

Hola! si me dicen que cacule el volumen definido por

$z={4x}^{2 } + {y}^{ 2}$
$z=4+ {y}^{ 2}$

paso a polares y el límite en z sería la resta de esas dos funciones?

de forma que la integral en z resuelta queda

${4x}^{2 } + {y}^{ 2}-(4+ {y}^{ 2})$
${4x}^{2 }-4$

y ahora ya paso a polares, con el jacobiano incluido, y voy de 0 a r y de 0 a 2pi

sería así? gracias a todos

[pod]

Re: integral de volumen

No es exactamente así. Esa es la estrategia general, pero este problema tiene una peculiaridad (a no ser que falte algo por copiar del enunciado). Fíjate que ambas funciones coinciden en $x = \pm1$, así que el volumen a calcular está delimitado en la dirección OX. Pero en la dirección OY, el volumen no está delimitado. Así que los límites de integración en y serán infinitos.

$$V = \int_{-1}^1 \dd x \int_{-\infty}^\infty \dd y \int_{4+y^2}^{4x^2+y^2} \dd z .$$

Esto tiene toda la pinta de dar infinito. Es obvio. Por ejemplo, en x = 0, la diferencia entre ambas funciones es finita (4, para ser exactos). Por lo tanto, el volumen encerrado siempre será infinito. Eso es lo que me hace pensar que a lo mejor falta algo en el enunciado que nos has puesto.

[JLace]

Re: integral de volumen

el problema solo dice calcular el volumen limitado por los sólidos

ya me había flipado pasando a polares

mil gracias y voy a ver si puedo pensar alguna cosa

[JLace]

Re: integral de volumen

lo que pasa es que esa figura no encierra un volumen porque tenemos el volumen en forma de copa z={4x}^{2 } + {y}^{ 2} y la parábola z=4+ {y}^{ 2} entonces la parábola no delimita ninguna supeficie ni volumen ni nada

pues vaya fiesta porque es un problema de examen

[pod]

Re: integral de volumen

¿No hay otra condición para delimitar el volumen? Muchas veces estos problemas te dicen, por ejemplo, "calcule el volumen delimitado por estas dos funciones y los planos $y=0$, $y=1$. En este caso, sería únicamente poner los límites correspondientes en la integral y.

O podrían decirte "calcule el volumen delimitado por estas dos funciones y el cilindro $x^2 + y^2 \le 4$. Esto ya sería más difícil. Habría que hacerlo en cilíndricas, o bien aislar y en función de x para ponerla en el límite.

[JLace]

Re: integral de volumen

debería ser como dices pero se les habrá olvidado lol, ya como salga en el examen se lo explico

mil gracias