Divulgación Calculo diferencial aplicado a la relatividad especial

[inakigarber]

Buenas tardes quisiera plantear el siguiente problema con el que estoy atascado.

Donde la variable es U.Trato de hacerlo de la siguiente manera.
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] donde $A=m_oU$ por tanto A´$=m_o$ y $B=\sqrt{1-\frac{U^2}{c^2}}$ para B´me sale B´$=-\frac{U}{c^2\sqrt{1-\frac{U^2}{c^2}}}$
Sustituyo los valores en (1) y simplificando me sale;
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Resultado que no se parece mucho al que da el problema.
Por otra parte, he tratado de seguir el camino inverso, es decir integrando desde la solución para obtener el resultado inicial y tampoco lo he conseguido. Supongo que me he perdido en algun paso. ¿Me podeis decir donde?. Gracias.

[davinci]

Re: Calculo diferencial aplicado a la relatividad especial

En la primera sustitución, has metido dentro de la raíz el c al cuadrado. Creo que ese es el error.

¿Las prima son sus derivadas? Si es asi, repasa B prima.

Un saludo

[angel relativamente]

Re: Calculo diferencial aplicado a la relatividad especial

A mí sí me queda la expresión que piden.
Si te lías mucho te pongo los cálculos. Pero aviso, es más fácil operar viéndolo como la derivada de un producto, teniendo en cuenta que $\dfrac1{\sqrt{1-u^2/c^2}}=\left(1-\dfrac{u^2}{c^2} \right)^{-1/2}$

Saludos,

[inakigarber]

Re: Calculo diferencial aplicado a la relatividad especial

Buenas tardes. Las primas son las derivadas cierto.Voy a repasar esta sustitución con mas detalle. Veamos.$B=sqrt{1-\frac{U^2}{c^2}}$. Por lo que tenemos;$B^2=1-\frac{U^2}{c^2}$ Derivando; [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] por lo que;$\frac{2BdB}{dU}=-\frac{2U}{c^2}$, $\frac{dB}{dU}=-\frac{2U}{2Bc^2}$. Sustityendo B y somplificando.$\frac{dB}{dU}=-\frac{U}{(\sqrt{1-\frac{U^2}{c^2}})c^2}$

[inakigarber]

Re: Calculo diferencial aplicado a la relatividad especial

A mí sí me queda la expresión que piden.
Si te lías mucho te pongo los cálculos. Pero aviso, es más fácil operar viéndolo como la derivada de un producto, teniendo en cuenta que $\dfrac1{\sqrt{1-u^2/c^2}}=\left(1-\dfrac{u^2}{c^2} \right)^{-1/2}$

Saludos,

No habia visto tu respuesta. Ya ves que tengo la rara habilidad de convertir lo facil en dificil.Lo mirare con mas detenimieno. En todo caso gracias por la respuesta. Voy a ver si lo consigo. Un saludo.

[inakigarber]

Re: Calculo diferencial aplicado a la relatividad especial

Pues no he conseguido resolverlo, lo cual me ha disgustado bastante.

[davinci]

Re: Calculo diferencial aplicado a la relatividad especial

A ver, de relatividad no se mucho, pero me gustaria saber si el procedimiento que empleaste en el primer mensaje, la fórmula, es lo que hay que hacer. O que caminos has empleado. Si es asi, probaré a hacerlo. Pero hoy no. Mañana

Un saludo

[angel relativamente]

Re: Calculo diferencial aplicado a la relatividad especial

Te mostraré los cálculos que he hecho, bastante masticados. Al fin y al cabo es derivar, aplicar bien la regla de la cadena y luego manejar un poco los exponentes para darle forma. Pero no es una derivada sencilla, en el sentido de que quedan ladrillos interesantes. Lo más seguro es que hayas operado bien, pero hayas llegado a una expresión equivalente a la que te piden sin simplificar ( a mí me pasó y tardé tiempo en ver que lo que tenía y donde había que llegar era lo mismo). Bueno, ahí va:

$$\dd\left(\dfrac{um_0}{\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}}\right) =m_0\cdot \dd\left(\dfrac{u}{\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}}\right)=m_0\cdot \dd\left[u\left(1-\dfrac{u^2}{c^2}\right)^{-1/2}\right]$$

$$=m_0\cdot \left(\dd u \cdot \left(1-\dfrac{u^2}{c^2}\right)^{-1/2} + u \cdot \dd \left[\left(1-\dfrac{u^2}{c^2}\right)^{-1/2}\right]\right)$$

$$=m_0\cdot \left[\dd u \cdot \left(1-\dfrac{u^2}{c^2}\right)^{-1/2} + u \cdot \left(\dfrac{-1}{2}\right)\cdot \left( 1-\dfrac{u^2}{c^2}\right)^{-3/2}\cdot \dd \left(1-\dfrac{u^2}{c^2}\right)\right]$$

$$=m_0\cdot \left[\dd u \cdot \left(1-\dfrac{u^2}{c^2}\right)^{-1/2}-\dfrac{u}{2}\cdot \left( 1-\dfrac{u^2}{c^2}\right)^{-3/2}\cdot \left(-\dfrac{2u\dd u}{c^2}\right)\right]$$

$$=m_0\cdot \left[\left(1-\dfrac{u^2}{c^2}\right)^{-1/2}+\dfrac{u^2}{c^2}\cdot \left( 1-\dfrac{u^2}{c^2}\right)^{-3/2}\right]\cdot \dd u$$

$$=m_0\cdot \left(1-\dfrac{u^2}{c^2}\right)^{-1/2}\cdot \left[1+\dfrac{u^2}{c^2}\cdot \left( 1-\dfrac{u^2}{c^2}\right)^{-1}\right]\cdot \dd u$$

$$=m_0\cdot \left(1-\dfrac{u^2}{c^2}\right)^{-1/2}\cdot \left[1+\dfrac{u^2}{c^2\cdot \left( 1-\dfrac{u^2}{c^2}\right)}\right]\cdot \dd u$$

$$=m_0\cdot \left(1-\dfrac{u^2}{c^2}\right)^{-1/2}\cdot \left(1+\dfrac{u^2}{c^2-u^2}\right)\cdot \dd u=m_0\cdot \left(1-\dfrac{u^2}{c^2}\right)^{-1/2}\cdot \left(\dfrac{c^2}{c^2-u^2}\right)\cdot \dd u$$

$$=m_0\cdot \left(1-\dfrac{u^2}{c^2}\right)^{-1/2}\cdot \left(\dfrac{c^2-u^2}{c^2}\right)^{-1}\cdot \dd u=m_0\cdot \left(1-\dfrac{u^2}{c^2}\right)^{-1/2}\cdot \left(1-\dfrac{u^2}{c^2}\right)^{-1}\cdot \dd u$$

$$=\boxed{m_0\cdot \left(1-\dfrac{u^2}{c^2}\right)^{-3/2}\cdot \dd u}$$

Y así quedaría demostrado. No he hecho ningún cambio de variable para hacer explícitas las operaciones. Cualquier duda no dudes en consultar

Saludos,

[inakigarber]

Re: Calculo diferencial aplicado a la relatividad especial

Trate de hacerlo como la derivada de un cociente.$\frac{dy}{dx}=\frac{(A'B)-(AB')}{B^2}$. Cuando me lié entondes intente hacerlo integrando la solución para obtener el resultado inicial, pero tampoco me salío y finalmente tal como me aconsejo Angel que lo hiciera. Pero tampoco. Eso que parecia facil al principio. En todo caso gracias por ayudar.

[inakigarber]

Re: Calculo diferencial aplicado a la relatividad especial

...Pero no es una derivada sencilla....

Saludos,

Y tanto que no es sencilla. Bueno, la proxima vez espero tener más suerte y encontrarme cosas más faciles. Me habia parecido que sería un sencillo cambio de variable y he estado un buen rato maldiciendo mi poca capacidad para las matematicas. Al menos me cabe el consuelo de decir que no era tan facil. En todo caso gracias a ambos y perdon por las molestias. Un saludo Iñaki.

[Al2000]

Re: Calculo diferencial aplicado a la relatividad especial

...
Y así quedaría demostrado...

En tu paso de (5) a (6) te complicaste sin necesidad. Debiste haber sacado factor común $\dst \left(1 - \frac {u^2}{c^2}\right)^{-3/2}$.

Saludos,

Al

[davinci]

Re: Calculo diferencial aplicado a la relatividad especial

¡inakigarber acabo de darme cuenta de lo de la derivada del cociente! Lo que ha hecho Angel esta bien. ¿No será que hay que demostrar la veracidad o falsedad de la igualdad?

[angel relativamente]

Re: Calculo diferencial aplicado a la relatividad especial

Sabía que había un punto donde me complicaba de más, pero no llegaba a ver dónde. En efecto, con la simplificación de Al se resuelve en la mitad de espacio:

$$\dd\left(\dfrac{um_0}{\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}}\right) =m_0\cdot \dd\left(\dfrac{u}{\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}}\right)=m_0\cdot \dd\left[u\left(1-\dfrac{u^2}{c^2}\right)^{-1/2}\right]$$

$$=m_0\cdot \left(\dd u \cdot \left(1-\dfrac{u^2}{c^2}\right)^{-1/2} + u \cdot \dd \left[\left(1-\dfrac{u^2}{c^2}\right)^{-1/2}\right]\right)$$

$$=m_0\cdot \left[\dd u \cdot \left(1-\dfrac{u^2}{c^2}\right)^{-1/2} + u \cdot \left(\dfrac{-1}{2}\right)\cdot \left( 1-\dfrac{u^2}{c^2}\right)^{-3/2}\cdot \dd \left(1-\dfrac{u^2}{c^2}\right)\right]$$

$$=m_0\cdot \left[\dd u \cdot \left(1-\dfrac{u^2}{c^2}\right)^{-1/2}-\dfrac{u}{2}\cdot \left( 1-\dfrac{u^2}{c^2}\right)^{-3/2}\cdot \left(-\dfrac{2u\dd u}{c^2}\right)\right]$$

$$=m_0\cdot \left[\left(1-\dfrac{u^2}{c^2}\right)^{-1/2}+\dfrac{u^2}{c^2}\cdot \left( 1-\dfrac{u^2}{c^2}\right)^{-3/2}\right]\cdot \dd u$$

$$=m_0\cdot \left(1-\dfrac{u^2}{c^2}\right)^{-3/2}\left[1-\dfrac{u^2}{c^2}+\dfrac{u^2}{c^2}\right]\cdot \dd u=\boxed{m_0\cdot \left(1-\dfrac{u^2}{c^2}\right)^{-3/2}\cdot \dd u}$$

Siento el tocho anterior

Saludos

[davinci]

Re: Calculo diferencial aplicado a la relatividad especial

¿Este ejercicio te lo encontraste por internet? ¿Con la misma calidad en la imagen? Si es asi, Angel lo tiene bien porque yo en el exponente veo un 3 y medio. Igual lo confundiste con un uno y medio.

Buen día.

[angel relativamente]

Re: Calculo diferencial aplicado a la relatividad especial

porque yo en el exponente veo un 3 y medio

Será un tres medios

Sí es cierto que yo al principio vi un -1/2, hasta que dije no puede ser y afiné la vista.

De todos modos, este ejercicio no es relatividad, a pesar de que la fórmula pertenezca. Es hacer una derivada y es puro cálculo matemático. Solo hay que saber que u es la variable, que el resto son constantes y que te piden derivar $f(u)$