¿Qué es un diferencial?

[Jose D. Escobedo]

Re: ¿Qué es un diferencial?

En la aritmética de los numeros hiperreales $\mathbb{R}^*$, $dx$ y $\Delta x$ son lo mismo, numeros hiperreales infinitesimales, tanto se puede usar una nomeclatura como la otra.

Todos lo numeros reales son hiperreales. Un numero $\epsilon$ es hiperreal infinitesimal si para cualquier numero real $a$ positivo cumple la siguiente condición:
$-a < \epsilon < a$
El unico número real que es infinitesimal es el 0, hay mas numeros infinitesimales pero no están dentro de la recta real.
Se dice que dos numeros $a,b$ hiperreales estan infinitamente proximos si: $a-b$ = numero hiperreal infinitesimal.
Como con los numeros reales tambien se puede operar algebraicamente con los numeros hiperreales.

Ahora pasemos a la funcion que propones $y=x^2$. Consideremos dos puntos cualquiera $x_0,y_0$ pertenecientes a la curva. Definamos $\Delta x$ como un numero hiperreal infinitesimal positivo o negativo pero no 0, y $\Delta y$ el cambio que se produce en y al incrementar x en la cantidad $\Delta x$. Definimos:

Pendiente en el punto $(x_0,y_0)$ = El numero real infinitamente proximo al numero hiperreal $\frac{\Delta y}{\Delta x}$

Calculemos $\frac{\Delta y}{\Delta x}$:

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{ (x_0+\Delta x)^{2}-x_0^{2} }{ \Delta x} = 2x_0+\Delta x$

El valor calculado no es un numero real sino un numero hiperreal. Pero como $2x_0+\Delta x$ esta infinitamente proximo al número real $2x_0$. Concluimos que:

Pendiente en el punto $(x_0,y_0)$ = $2x_0$

Esto ya lo vimos en otra ocación y esto no difiere mucho de la definición estandard (con la rigurosidad de "algunos" matemáticos, siendo especifico no todos), yo prefiero, el cálculo algebraico en el que puede usar formas cuadráticas y geometría proyectiva.

Nota: lo estoy aprendiendo de otro matemático, y voy a tratarlo de aplicar a la física en cuanto lo aprenda un poco mas.

Saludos

[abuelillo]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Consulta: ¿Esto no viola el principio de identidad?
Es decir, por lo que entiendo estás afirmando lo siguiente $y+dx=y$
saludos

No veo porque, es como si tengo 1.1 y digo que el número entero mas proximo a 1.1 es 1. O como cuando digo que la parte real del numero complejo (3,2) = 3.
No veo que esto viole nada.

[Johny_tolengo]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Entonces, ahora resulta que "para que tenga sentido" $\Delta x =dx$ (parafraseandote). Vuelvo a la misma pregunta cual es la relación entre $dx$, $dy$, $\Delta x$ y $\Delta y$. Sería mejor que repases de nuevo y luego recomiendas a los físicos que hacen bien y que hacen mal.

Saludos.

La relación ya la estableció Jabato cuando escribió:

Los valores de satisfacen la relación . Toman valores reales cualesquiera. Geométricamente interpretados son las componentes de un vector cuyo origen es el punto y su extremo está en un punto cualquiera de la tangente a la gráfica de por el punto . A cada par de valores reales le corresponde lógicamente una valor real de .

Los valores de satisfacen la relación . Toman valores reales cualesquiera. Geométricamente interpretados son las componentes de un vector cuyo origen es el punto y su extremo está en otro punto cualquiera de la gráfica de . A cada par de valores reales le corresponde lógicamente un valor real de .

No has dicho que es , aunque sí creo interpretar correctamente tu pregunta. Si lo que preguntas es si existe relación entre los incrementos y los diferenciales de las variables de una función la respuesta es claramente no. Es un hecho que puedes deducir fácilmente del ejemplo que tu mismo pusiste.

Salu2

[Jose D. Escobedo]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Si dices que $\Delta x=dx$, porque $\Delta y\neq dy$ para x=2 de acuerdo con lo que esta calculando-expresando Jabato geométricamente. Por mucho que le veas lo unico que estas haciendo filosofar (es decir trantando de ser riguroso, perdiendo el tiempo construyendo castillos en el aire, donde no se debe)

Disculpa me tengo que ir trabajar

Saludos

[Johny_tolengo]

Re: ¿Qué es un diferencial?

No veo porque, es como si tengo 1.1 y digo que el número entero mas proximo a 1.1 es 1. O como cuando digo que la parte real del numero complejo (3,2) = 3.
No veo que esto viole nada.

Pero entonces no podríamos ponernos nunca de acuerdo, ya que para mí, un número más cercano sería 1.09. Con lo cual habría una gran incertidumbre para definir, por ejemplo, la velocidad instantánea de un móvil.

En el Cálculo Diferencial, y trabajando siempre en $R$ (números reales), la definición de derivada implica un proceso de límite. El límite de un cociente incremental cuando su denominador tiende a cero.
Se debe tener en claro que ningún elemento de esa serie de cocientes incrementales, (por más chico que se desee hacer, llevando a cero el denominador), será la derivada. Sí lo será el límite de ese cociente. Ese límite es un nuevo elemento que no pertenece a la serie de cocientes cada vez menores. Y ese límite tampoco es un cociente.

[abuelillo]

Re: ¿Qué es un diferencial?

A ver he puesto unos ejemplos simples como analogias, no quieras sacarle 5 pies al gato, no hay nada de incierto en la parte real de un numero complejo o la parte entera de un numero real, o la parte estandard de un numero hiperreal.
Si A es un numero real y B un numero hiperreal infinitesimal, la parte estandard de A+B es igual a A, sin ninguna duda, ni incertidumbre de ningun tipo.

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Yo creo que está perfectamente explicado, y de forma que hasta un niño de teta lo entiende. Hacerse de nuevas no tiene sentido.

Vamos a ver, ¿para ti abuelillo dx es un número hiperreal infinitesimal no? y para ti escobedo ¿que es dx?

¡Madre mía!, y luego decimos que los conceptos están claros. ¡Estamos apañaos!

No es que haya un poco de confusión y algo de mito. Es sencillamente caos conceptual.

[Johny_tolengo]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Si dices que $\Delta x=dx$, porque $\Delta y\neq dy$ para x=2 de acuerdo con lo que esta calculando-expresando Jabato geométricamente. Por mucho que le veas lo unico que estas haciendo filosofar (es decir trantando de ser riguroso, perdiendo el tiempo construyendo castillos en el aire, donde no se debe)

Disculpa me tengo que ir trabajar

Saludos

En la imagen adjunta se ve en rojo la función $y=x^2$ y en azul la recta $y=4x-4$ tangente a dicha función y evaluada en el punto $P(x,f(x)) = P(2,4)$.

Como bien dijiste, para $\Delta x = (3-2)= 1$; el crecimiento de $y$, o sea: $\Delta y = f(3) - f(2) = 5$

La pregunta es, ¿Cuánto vale $dy$ en ese mismo intervalo? Vale exactamente: $dy = 4$ y representa el crecimiento de la recta tangente en ese intervalo. Ese crecimiento es menor que el crecimiento de $y=x^2$

Se podría probar ahora con un $\Delta x$ muchísimo más pequeño. Si se quiere $\Delta x = (2,00000001-2)= 0,00000001$

Lo trascendente de todo esto es que esa desigualdad entre $\Delta y$ y $dy$ que, en este caso puntual para el punto $P(2,4)$ y $\Delta x = (3-2)= 1$ SE MANTIENE SIEMPRE independientemente del $x$ y de lo "ultrapequeño" que queramos hacer $\ Delta x$

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Vamos a ver si $P$ es un punto genérico de una variedad diferenciable y $T$ es un punto genérico de su espacio tangente en un punto dado $P_o$ entonces se pueden definir los dos vectores siguientes:

$(1)\quad dP=T-P_o\qquad\qquad\qquad(2)\quad\Delta P=P-P_o$

ambas definiciones son en general dependientes de cual sea el punto $P_o$ que estemos considerando. Las componentes de uno y otro vector determinan perfectamente lo que son los diferenciales y los incrementos de cada una de las variables implicadas, y por lo tanto determinan también cuales son sus diferencias conceptuales, que con este punto de vista resultan ser ahora más que evidentes. Tenemos entonces que las componentes de $dP$ son los diferenciales y las componentes de $\Delta P$ son los incrementos. Definición que vale por supuesto para variedades de cualquier dimensión. Es evidente también que en esta definición no intervienen ni los números hiperreales ni infinitesimales ni nada que se le parezca. Todo ocurre en el mismo espacio en que está definida la variedad, que habitualmente es un espacio $R^n$, y que, como todos sabéis bien, es un espacio vectorial definido sobre el cuerpo de los números reales. Por lo tanto las componentes de los vectores definidos en (1) y (2) serán siempre números reales.

Faltaría demostrar aquí que las componentes de dichos vectores satisfacen las propiedades, de todos conocidas, del diferencial y del incremento de una función, pero es tan elemental hacerlo que lo omitiré por brevedad, aunque si alguien tiene interés en verlo pues lo expongo sin problemas.

Salu2

[Johny_tolengo]

Re: ¿Qué es un diferencial?

[FONT=tahoma]A continuación voy a transcribir unos pasajes del libro: "Introducción al Cálculo y Análisis Matemático de R. Courant y Fritz John" para echar luz sobre la cuestión de los infinitesimales o infinitamente pequeños.

Notación de Leibnitz para la integral. (pág 147 - Vol. 1)[/FONT]
La definición de la integral como el límite de una suma condujo a Leibnitz a expresar la integral mediante el siguiente símbolo:

$$\int_a^b \!\! f(x)dx$$

El signo de integral es una modificación del signo de sumatoria en forma de una S grande que se usó en la época de Leibnitz. El paso al límite a partir de una subdivisión finita en porciones $\Delta{x}_{i}$ es indicada mediante el uso de la letra $d$ en lugar de $\Delta$. Sin embargo, al utilizarse esta notación no debe tolerarse el misticismo del siglo XVIII de considerar $dx$ como un "infinitamente pequeño" o "cantidad infinitesimal", o de considerar la integral como la "suma de un número infinito de cantidades infinitamente pequeñas". Tal concepción está desprovista de significado claro y oscurece lo que anteriormente se ha formulado con precisión.

Derivada y cociente de incrementos. Notación de Leibnitz (pag. 192 Vol.1)
En la notación de Leibnitz, el paso al límite en el proceso de derivación es simólicamente expresado reemplazando el símbolo $\Delta$ por el símbolo $d$, motivando el símbolo de Leibnitz para la derivada definida mediante la ecuación

$$\frac{\mathrm{dy} }{\mathrm{dx} }= \lim_{\Delta x \to \ 0} \frac{\mathrm{\Delta y} }{\mathrm{\Delta x} }$$

Si se desea obtener un entendimiento claro del significado del cálalculo diferencial, debemos precavernos contra la vieja falacia de imaginar la derivada como el cociente de dos "cantidades" $dy$ y $dx$ "infinitamente pequeñas". El cociente de incrementos $\Delta y/ \Delta x$ posee un significado sólo para diferencias $\Delta x$ que no son iguales a cero. Despues de formar este genunio cociente incremental debe efectuarse el paso al límite por medio de una transformación o algún otro plan el cual también en el límite evita la división por cero. No tiene sentido suponer que primero $\Delta x$ y $\Delta y$ atraviesan por algo parecido a un proceso de límite y alcanzan valores que son infinitesimalmente pequeños pero aún diferentes de cero, de modo que $\Delta x$ y $\Delta y$ se reemplazan por "cantidades infinitamente pequeñas" o "infinitesimales" [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y $dy$, y que el cociente de estas cantidades es entonces formado. Tal concepción de la derivada es incompatible con la claridad matemática; de hecho, no tiene significado alguno. Para mucha gente, indudablemente posee un cierto encanto de misterio, siempre asociado con la palabra "infinito"; y en los primeros días del cálculo diferencial aun el mismo Leibnitz fue capaz de combinar estas vagas ideas místicas con un tratamiento enteramente claro de los procesos de límite. Pero ahora el misticismo de las cantidades "infinitamente pequeñas" no tiene lugar en el cálculo.

Quisiera agregar a título personal lo siguiente: el límite de un cociente de incrementos (para la definición de la derivada), no es el último de esos cocientes de incrementos cuando el delta del denominador tiende a cero. El límite del cociente de incrementos es, si se quiere, una nueva entidad que no pertenece a la sucesión de cocientes de incrementos cada vez más pequeños conforme el denominador tiende a cero. En realidad, el límite es un objeto nuevo que no es un cociente de incrementos.

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

La derivada de una función puede interpretarse siempre como el cociente de dos diferenciales porque la definición del diferencial de una función es precisamente ésta:

$dy=y'(x)dx$

Eso no quiere decir que la derivada se calcule de esa forma, en todos los libros se muestra la definición ortodoxa de la derivada que es precisamente un límite, y por supuesto que se calcula como lo que es, es decir como un límite.

¿Has leído todo el hilo? porque según parece no has entendido nada de lo que se dijo. Por supuesto que todas las variables implicadas en dicha ecuación toman valores en el conjunto de los números reales, y eso supone que sus valores no pueden ser infinitesimales, ya que en dicho conjunto no existen números infinitesimales.

Salu2

[Johny_tolengo]

Re: ¿Qué es un diferencial?

La derivada de una función puede interpretarse siempre como el cociente de dos diferenciales porque la definición del diferencial de una función es precisamente ésta:

$dy=y'(x)dx$

¿Has leído todo el hilo? porque según parece no has entendido nada de lo que se dijo. Por supuesto que todas las variables implicadas en dicha ecuación toman valores en el conjunto de los números reales, y eso supone que sus valores no pueden ser infinitesimales, ya que en dicho conjunto no existen números infinitesimales.
Salu2

¿Dónde se supone que escribí algo que contradice tu afirmación como para que digas que no entiendo nada de lo que se dijo en el hilo?
Espero tu aclaración.

[abuelillo]

Re: ¿Qué es un diferencial?

[FONT=tahoma]A continuación voy a transcribir unos pasajes del libro: "Introducción al Cálculo y Análisis Matemático de R. Courant y Fritz John" para echar luz sobre la cuestión de los infinitesimales o infinitamente pequeños.
[/FONT]

[FONT=tahoma]El libro que mencionas es bastante antiguo, las matematicas tambien evolucionan. Si actualmente fuese una cosa "mistica" o poco rigurosa, no existiría[/FONT][FONT=tahoma] una disciplina matematica nueva llamada "Analisis no estandard" que trata de los infinitesimales, que los matematicos son muy estrictos y si algo no se puede tratar de una forma rigurosa no se crea una nueva disciplina.
Sobre esto habia cierto debate y algunas opiniones contrarias en el siglo pasado, incluso entre matematicos, hasta que Robinson creo los numeros hiperreales, dandole rigurosidad al tema y quitandole todo el misticismo.

[/FONT]

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

¿Mi aclaración? No tengo nada que aclarar, solo indiqué lo que parecía a la vista de lo que escribiste. Ya se dijo en el hilo que los diferenciales son variables que toman valores en el campo de los números reales, y se justificó. No entiendo a que venía lo que escribiste tratando de justificar los valores no infinitesimales de los diferenciales. Todo eso está escrito y debidamente justificado en el hilo, hace ya muchos mensajes. A la vista del tuyo parece que rediriges el hilo a un asunto que ya el hilo había superado, repitiendo además un texto trasnochado que no aporta nada nuevo al debate. Eso es lo que parece y por eso lo apunté, a lo mejor no estoy en lo cierto, pero parecerlo lo parece.

Salu2

[Johny_tolengo]

Re: ¿Qué es un diferencial?

[FONT=tahoma]Si no me equivoco se tiene lo siguiente:

Si para un valor dado de $x$ y un [/FONT][FONT=tahoma]$\Delta x$ variable se define una cantidad [/FONT]$\varepsilon$,[FONT=tahoma] llamada error, de la siguiente manera: [/FONT]

$$\varepsilon(\Delta x)= \frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x} - f'(x)= \frac{\Delta y}{\Delta x } - f'(x)$$

entonces el hecho de que [FONT=tahoma]$f'(x)$ sea la derivada de [/FONT][FONT=tahoma]$f(x)$[/FONT][FONT=tahoma] en el punto [/FONT][FONT=tahoma]$x$, equivale a [/FONT]

$$\lim_{\Delta x \to \ 0} \varepsilon (\Delta x)= 0$$

[FONT=tahoma]
De hecho, la cantidad [/FONT]

$$\Delta y = f'(x)\Delta x + \varepsilon\Delta x$$

representa la variación o incremento en la variable dependiente $y$ que resulta cuando el valor $x$ de la variable independiente es modificado en la cantidad de $\Delta x$

Ese error dependerá del valor de $\Delta x$, por lo que, dividiendo el intervalo $\Delta x$ en $N$ subintervalos, cada uno de ellos de valor: $\Delta {x}_{i}=({x}_{i+1}-{x}_{i})$, y haciendo

$$d{y}_{i}=f'(x) \Delta {x}_{i}$$

Sumando las expresiones $(4)$ para $N$ se tiene que:

$$\Delta y \cong \sum_{i = 1}^N \ {dy}_{i}$$

Si el error cometido en cada subintervalo es

$${\varepsilon}_{i}=\Delta {y}_{i}-d{y}_{i}$$

entonces

$${\Delta {y}_{i}= d{y}_{i} + \varepsilon}_{i}$$

y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Incrementando el valor de [FONT=tahoma]$N$ [/FONT] se obtiene una serie de estimaciones totales del [FONT=tahoma]$\Delta y$ [/FONT], y una serie de errores totales.

El límite de la serie de sumas de [FONT=tahoma]$d{y}_{i}$ cuando[/FONT] [FONT=tahoma]$N$[/FONT]$\to \infty$ será exactamente $\Delta y$, si y solo sí, el límite de la serie de errores totales, cuando [FONT=tahoma]$N$[/FONT]$\to \infty$, es cero. Es decir:

$$\Delta y= \lim_{N \to \infty} \sum_{i = 1}^N d{y}_{i} = \int d{y}_{i}=\int f'(x)d{x}_{i}$$

sí, y solo sí

$$\lim_{N \to \infty} \sum_{i = 1}^N {\varepsilon}_{i} = 0$$

Lo cual será válido únicamente para $f'(x)$