¿Qué es un diferencial?

[Weip]

Re: ¿Qué es un diferencial?

¿Podemos afirmar en este caso que $\Delta x=dx$?

No, en este caso da diferente pero es que no me estoy refiriendo a eso. En mis anteriores mensajes yo uso a la función $f(x)=x$ mientras que tú usas a una función $x$ que depende de $t$. Has representado una función cualquiera mediante $x$ pero no estamos hablando de la misma función. Lo crucial es que $f(x)=x$ tiene derivada $1$ y al multiplicarlo por $x$ te queda $x$. Eso sí, en tu caso $dt=\Delta t$ porque $t'(a)=1$.

[justinux]

Re: ¿Qué es un diferencial?

[FONT=Helvetica]Hola,[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica] Precisamente como esto se trata de matemáticas no se debe inventar definiciones redundantes o basadas en conceptos intuitivos. Lamentablemente en este foro no puedo escribir en Latex (por motivos que no vienen al caso), pero voy a hacer un intento y reescribir la definición que da, entre otros, Rudin de diferencial, y a partir de ahí puedes aplicarlo a los ejemplos que quieras:[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica] Definición: Sea f una función definida un abierto U de R^n sobre R^m (con n y m enteros positivos), y y sea x y h puntos de R^n tales que x y x+h pertenecen a U, y sea L una aplicación lineal de R^n sobre R^m, entonces decimos que L es el diferencial de f en el punto x, o en notación, (df) = L, si se cumple que cuando h tiende a cero se tiene que,[/FONT]
[FONT=Helvetica](1/|h|) (f(x+h) - f(x) - L(h) ) [/FONT]
[FONT=Helvetica]tiende a cero. Aquí hemos usado |h| como la norma del vector h.[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica] Esta es la definición precisa de diferencial. Ahora bien, si usamos esta definición a las funciones x^i con i =1, …, n, tales que x^i(x) = x^i donde el miembro derecho es la coordenada i-ésima del punto x (no confundir aquí la función x^i con el valor de la coordenada i-ésima del punto x,, aunque uso la misma notación esto no debe llevar a confusión). Entonces usando la definición de diferencial tendremos que[/FONT]
[FONT=Helvetica]dx^i(h) = x^i(x+h)-x^i(x) = h^i,[/FONT]
[FONT=Helvetica]o sea, que dx^i es el operador lineal definido en R^n sobre R tal que lleva h al valor de su componente i-ésima . Si los vectores de R^n se denotan por vectores columna, entonces dx^i será el vector fila tal en todas sus entradas hay ceros salvo en la i-ésima entrada que hay un 1. Esto es lo que se llama una forma sobre R^n, y en concreto es una forma diferencial. Y ahora podemos encontrar la forma explícita de (df) en términos de dx^i, para ello apliquemos (df) sobre un vector h de R^n, es decir,[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica](df)^j(h) = \sum_{i} (df)^j_i h^i = (\sum_{i} (df)^j_i dx^i ) (h),[/FONT]
[FONT=Helvetica]donde la primera igualdad es solo la expresión matricial de una aplicación lineal en una base dada, y en la segunda hemos usado la propiedad antes mencionada de dx^i(h) = h^i, la suma corre de i=1 hasta n y el superíndice j puede tomar los valores de i=1 hasta m. Por tanto podemos escribir la relación,[/FONT]
[FONT=Helvetica](df)^j = \sum_{i} (df)^j_i dx^i[/FONT]
[FONT=Helvetica]que es una relación entre operadores lineales (df) y (dx), y no es solo notación. En circunstancias bastante generales los coeficientes (df)^j_i no es otra cosa que la derivada parcial de f^j respecto a x^i evaluada en el punto x.[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]Otra forma de escribir la definición anterior es la siguiente:[/FONT]
[FONT=Helvetica]f(x+h) = f(x) + df(h) + o(h),[/FONT]
[FONT=Helvetica]donde o(h) es una función de h que cumple la propiedad de que cuando h tiende a cero o(h)/|h| tiende a cero.[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]En el caso de una funciones reales de una variable real las aplicaciónes lineales (df) y (dx) svan de R sobre R lo cual vienen representadas por meros escalares, pero no hay que perder de vista que son operadores lineales. En este caso escribimos simplemente que,[/FONT]
[FONT=Helvetica]df= f’ dx[/FONT]
[FONT=Helvetica]que es una relación entre las apicaciones lineales df y dx. Y podemos escribir tambén que para cualquier h,[/FONT]
[FONT=Helvetica]f(x+h) = f(x) + (df)(h) + o(h)[/FONT]
[FONT=Helvetica]donde como antes o(h)/h tiende a cero cuando h tiende a cero. [/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]Bueno, aquí no hemos usado (ni es necesario) la idea de número infinitesimal o algo que se parezca, solo hemos dado el comportamiento de algunas funciones (como o(h)) cuando h tiende a cero lo que nos restrigía la forma que debía tomar (df). En todo lo anterior, tanto L como (df) dependen del punto x considerado, pero no lo he escrito explicitamente para no recargar la notación. [/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica] Para más información les remito a W.Rudin que ya mencioné. Aquí creo que respondo a todas las preguntas que alguién apuntó más arriba salvo por el ejemplo que menciona, que es un sencillo ejercicio de aplicación de lo que acabo de decir.[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica] Saludos[/FONT]

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Bien justinux, todo eso esta muy bien, pero ya los sabía. La cuestión es si debemos considerar que $\Delta x=dx$ en todos los casos o son variables distintas que pueden tomar valores diferentes. La definición ortodoxa de diferencial está en los libros y es perfectamente conocida, no necesito que me las recuerdes. Tu a esa cuestión que respondes.

[justinux]

Re: ¿Qué es un diferencial?

[FONT=Helvetica]Jabato, si ya lo sabías y lo entiendes, entonces tu pregunta es de perugrullo, ya que dx es una aplicación lineal y \Delta x es un vector y por tanto son cosas de naturaleza totalmente distitnas. Lo que yo he llamado h es lo que tu llamas \Delta x, así pues la relación entre ellos es la que mencioné más arriba para el caso n=1, es decir,[/FONT]
[FONT=Helvetica] h = dx(h) O sea, que dx es la aplicación identidad en R. [/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica] Si llamamos \Delta y a \Delta y = f(x+h) - f(x) entonces deduce tu mismo lo que estoy diciendo, [/FONT]
[FONT=Helvetica]\Delta y = df(h) + o(h)[/FONT]
[FONT=Helvetica]y si llamamos dy a df, o sea, dy = (df), entonces la relación queda, en la notación que se está usando,[/FONT]
[FONT=Helvetica]\Deltay = dy (\\Deltax) + o(\Delta x).[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica] Yo creo que está meridianamente claro y no hay ningún conflicto, sabiendo que los diferenciales son objetos matemáticos de una naturlaeza totalmente distinta a las variables o incrementes de aquellas.[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica] Repito que yo remito al libro de Rudin, y esta ha sido mi aportación al foro, el que quiera tomarlo bien, y el que no tambien está bien. No seguiré dando vueltas a este concepto que me parece superado tanto en Física como en Matemáticas.[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica] Saludos[/FONT]

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Pues no se, justinux, si has leído el hilo habrás visto que Weip no comparte tu opinión. Yo tengo la mía pero que tampoco coincide con la de Weip. No estoy haciendo preguntas porque no conozca el tema, estoy tan solo tratando de resumir el asunto al objeto de llegar a un acuerdo en las cuestiones más básicas, y hasta ahora tenemos tres opiniones distintas sobre la naturaleza de $\Delta x$ y $dx$, considerando que siempre hablamos de funciones del tipo y=f(x):

1.- La mía: ambas variables son distintas pero de idéntica naturaleza, ambas pueden tomar valores reales cualesquiera y no necesariamente adoptan el mismo valor.
2.- La de Weip: ambas variables son idénticas, en otras palabras representan la misma magnitud, con dos nombres distintos. Siempre toman el mismo valor real.
3.- La tuya: ambas variables son de distinta naturaleza y lógicamente no pueden tomar los mismos valores. Vendría bien saber, en tu opinión, que tipo de variables son cada una y que valores toman en cada caso. Vendría bien que te limitaras a funciones reales de una variable real con objeto de no complicar demasiado el asunto.

Ya me contarás, si en algo que tu consideran tan básico no nos ponemos de acuerdo tres forístas con conocimientos avanzados de análisis entonces cual de los tres es el que tiene razón. No me parece tan básico lo que estamos discutiendo.

Salu2, Jabato.

[Weip]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Pues no se, justinux, si has leído el hilo habrás visto que Weip no comparte tu opinión.

Por aclarar cosas, yo estoy de acuerdo con justinux. Creo que le has malinterpretado. Cuando justinux dice:

[FONT=Helvetica]h = dx(h) O sea, que dx es la aplicación identidad en R. [/FONT]

Te está diciendo lo mismo que yo: $dx=x$ donde $f(x)=x$ es la aplicación identidad (y no una función cualquiera como suponías en la página anterior). Que puedes usar la notación que quieras, con un par de retoques puedes usar $\Delta x$ o poner $dt=t$ o $dx(v)=v$. El nombre que le pongamos es lo de menos. En este punto me gustaría preguntarte ¿estás de acuerdo con que $df=f'(a)x$? Si la respuesta es no ¿aceptarías esa expresión como definición de diferencial? Si la respuesta a esta ultima pregunta es sí entonces es trivial que $dx=x$. Si la respuesta es no poco más podemos decir.

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Vamos a ver poniendo un poco de orden en el asunto. Cuando estamos tratando una función, real de variable real, arbitraria de la forma $y=f(x)$ y la analizamos en el punto $x=a$ tenemos las siguientes variables o parámetros relacionados con la función y el punto considerado:

$x,\Delta x,dx,y, \Delta y, dy$

$x$: es una variable real independiente que en este caso vale $a$.

$y$: es una variable real dependiente que en este caso vale $f(a)$.

$\Delta x$: es una variable real independiente que puede tomar cualquier valor real, sin restricción alguna.

$dx$: es una variable real independiente que puede tomar cualquier valor real, sin restricción alguna.

$\Delta y$: es una variable real dependiente y su valor es $\Delta y=f(a+\Delta x)-f(a)$

$dy$: es una variable real dependiente y su valor es $dy=y'(a)dx$

¿Cuales de las siguientes afirmaciones no son ciertas en vuestra opinión?

Salu2, Jabato.

[Jose D. Escobedo]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Vale ahora te entiendo. Piensa que como seres humanos que somos necesitamos a veces explicaciones didácticas más allá de las rigurosas para entendernos. Esto es lo que hacen los libros de matemáticas: en algunos párrafos te cuentan de forma no matemática lo que has de entender por un concepto u otro y luego te dicen ¡definición! ¡proposición! ¡demostración! y ahí sí todo es 100% riguroso. Aún así siempre se define primero la diferenciabilidad y luego el diferencial como cierta aplicación lineal. No hay problema con ello. La diferenciabilidad no presupone ningún concepto de diferencial.


Falta el punto donde he de calcular la derivada, pero bueno, pongamos que es $a$. Entonces $df_a(x)=2adx$. Aclaración: esta es la forma clásica de ponerlo, otra alternativa es $df_a(x)=2ax$. E insisto que las dos formas son correctas y equivalentes.
Lo de la integral no sé muy bien porqué lo preguntas si no tiene nada que ver con el diferencial pero bueno, yo la calculo usando Barrow (no sé si eres consciente del infierno que es calcular integrales por sumas de Riemann), $\dst\int_1^2 x^2 dx=\dst\frac{2^3}{3}-\frac{1}{3}=\dst\frac{7}{3}$. Déjame decir que el $dx$ de la integral de Riemann no sirve nada de nada. Indica respecto a qué variable integras pero ya está. Lo puedes quitar si quieres. En otro tipo de integrales a veces sí significa cosas más sustanciosas, pero en la de Riemann no.


Pues ni una expresión ni la otra son diferenciales de funciones. En la primera expresión falta la comilla de derivada en $f(x_0)$ y en la segunda es $dy$, no $\Delta y$. Además decir $x_0 \in \Delta x$ no tiene sentido, al menos en este contexto. En todo caso, suponiendo que hubieras escrito bien todo, ambas expresiones son la misma, solo estás usando dos notaciones distintas. Pero cuidado: $\dst\frac{dy(x_o)}{dx}$ es una derivada, no una división de diferenciales. Lo digo por si acaso.



Saludos a todos.

Es corrrecto definir un concepto por sus propiedades que por el significado del mismo? O Deveria de ser el complemeto de la definicion?


No creo que haga falta $a$ te suena el teorema del valor medio de Langrange y cuando dividas en intervalos mas peque$\~n$itos utiliza otras $a$'s. A $dx$ lo puedes quitar? Talvez sea que: $dx=\Delta x = 0$ cuando se hacen sumas de Riemann como decia Euler y al final te esten hablando de una determinacion $\infty 0$ y por lo que decia Guass esto te puede dar un valor dependiendo del comportamiento asintotico de $\infty$ and .

Si en la tercera afirmacion tengo un typo deveria ser $f'(x_o)$ en vez de $f(x_o)$. No te preocupes que acerca de la division de diferenciales, que yo estoy estudiando el calculo de una manera algebraica sin procesos infinitos y evitando los numeros reales, y que ademas es ense$\~n$ado por un matematico que no esta de acuerdo con la corriente principal de los matematicos.

Saludos

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Vamos que no salimos del atasco, ¿es tan difícil contestar a una pregunta sencilla?

Salu2, Jabato.

[Jose D. Escobedo]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Que despistado soy, no me habia fijado en tu firma Weip. Es obvio que quieres intentar definir diferencial de esa manera para hacer uso de las formas diferenciales. Para superficies usualmente uso mi diferencial de esta forma:

$\dst\hat{n}dS=\hat{k}dx_1 dx_2=dx_1 \times dx_2$ y sigue siendo valido que: $0=0$ como Euler decia para variar.

Saludos

[alexpglez]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Perdonad, pero hace un tiempo que leo pero no he tenido tiempo de conectar, volviendo a ver las dudas, me parece "increíble" como seguís con la misma discusión. Voy a aportar algo a la discusión, definiendo más adelante los diferentes términos que obtenga, para que no pueda haber ninguna confusión.
El diferencial nace como un objeto en el cálculo para relacionar conceptos como la derivada e integral. Analicemos la idea de pendiente para llegar a la derivada e integral, empezando por las funciones de una sola variable.
Para hallar la pendiente de una cuerda que pasa por dos $A(y_2,x_2)$, $B(y_1,x_1)$ puntos se define:

$$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

PD1: esta definición aparece para que cumpla la ecuación de la recta que pase por esos 2 puntos. La ecuación de una recta que pase por $(y_0,x_0)$: $y-y_0=m(x-x_0)$. (De aquí, como pasa por los puntos anteriores, hacemos que $(y,x)=A(y_2,x_2)$ y $(y_0,x_0)=B(y_1,x_1)$, obteniendo 1)
Como esta resta va a aparecer mucho, parece lógico pues definir incremento, variación (*1), diferencia, etc. definido de manera diferente dependiendo del contexto: en el caso anterior podemos definir $\Delta x=x_2-x_1$, $\Delta y=y_2-y_1$; pero en el caso de funciones podemos definir $\Delta f=f(x_2)-f(x_1)$ ó (renombrando las variables) $\Delta f=f(x+\Delta x)-f(x)$ ó $\Delta f=f(x+\epsilon)-f(x)$.
Podemos entonces extrapolar la definición de pendiente 1, para definir la pendiente de una cuerda que pasa por dos puntos x_2 y x_1 de una función, en este caso tenemos $A(f(x_2),x_2)$, $B(f(x_1),x_1)$.

$$m=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{\Delta f}{\Delta x}$$

Esto se suele llamar Tasa de Variación Media, pero muchas veces queremos saber con mayor precisión que pasa entre los puntos x_2 y x_1 y no sólo de media. Por lo tanto llegamos a la definición de derivada (aquí tomamos x_2=x para ahorrarme escribir xP):

$$f'(x)=\lim_{x_2 \to x} \frac{f(x_2)-f(x)}{x_2-x}=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim_{\epsilon \to 0} \frac{f(x+\epsilon)-f(x)}{\epsilon} =\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$$

Por las propiedades de los límites y renombrando las variables. Resolviendo muchas dudas del hilo, la notación del límite del incremento o "d" como vamos a ver está bien, pero no podemos decir que d= incremento.
Dada la igualdad 1'' (suponiendo que el límite existe), teniendo que el límite superior también se hace 0 cuando se hace el inferior, podemos hacer:

$$\lim_{\Delta f \to 0} \Delta f=f'(x)\lim_{\Delta x \to 0} \Delta x$$

Ó:

$$\Delta f=f'(x) \Delta x + \lambda(x,\Delta x) \;\;\;\; \lim_{\Delta x \to 0} \lambda(x,\Delta x) =0$$

El resultado práctico de 2 y 2' lo podemos ver en la aproximación, para variaciones pequeñas $\Delta f \approx f'(x) \Delta x$
El resultado teórico (por llamarlo de alguna manera), aparece en el estudio de cambio la integral y cambio de variable de la integral. Cuando aparece lo mismo que en 2 y 2'. De ahí que podamos definir diferencial, seguido de la notación de "d" (en vez de límites), por la ecuación 2 como:

$$df=f'(x) dx$$

O abusando de esta relación podemos escribir:

$$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{df}{dx}$$

Dicho esto y respondiendo, podemos definir diferencial, como una forma abusiva de escribir $d =\lim_{\Delta \to 0} \Delta$, y así abusando de esta notación escribir derivada como una "división de diferenciales", o integral como "suma de la función * el diferencial". Recordar que ésto es un abuso, un abuso que da una idea intuitiva, pero errónea, y sin embargo muy útil.
Saludos

- - - Actualizado - - -

variación (1*): en funciones variamos el valor de sus argumentos, no confundir como variación en el sentido del cálculo variacional, en el cual se varían las funciones que toma un funcional como argumentos.

[visitante20160513]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Alex, puedes contestar a las preguntas de mi mensaje #82. Es para ver si coincidimos en el enfoque.

Salu2, Jabato.

[Jose D. Escobedo]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Aqui va otra forma. Dado "the cubic" $y=x^3$ se pide calcular la linea tangente que pasa por el punto cuando $x=a$, es decir el punto $(a, a^3)$. En ese punto la derivada es: $y'(x=a)=3a^2$ y como consecuencia la equacion de la linea tangente es : $y-a^3=3a^2(x-a)$. Ahora bien, me puedo acercar por la derecha o la izquierda de $x$ y esto resulta en un acercamiento de $y$ por arriba o por abajo respectivamente, descrito de forma que: $\Delta y = 3a^3 \Delta x$, pero la solucion de $y=x^3$ y la linea tangente $y-a^3 =3a^2(x-a)$ es cuando $x=a$, por lo tanto $\Delta x =0 = \Delta y = 0$. Realmente pienso que hay algo extra$\~n$o con y que $dx =0$ implica $dy=0$.

Nota: tambien se puede para $y=x^n$

Observacion: supongamos que no quiero usar directamente la derivada:
$y=x^3$
$y=(x-a+a)^3$
$y=(x-a)^3+3(x-a)^2 a +3(x-a)a^2+a^3$
Luego la aproximacion lineal es en la cercania de $a$ es:
$y_1= 3a^2 (x-a)+a^3$
pero cuando x=a
$y_1=y$
Luego se sigue el argumento de arriba.

Esto tambien se extiende a $y=x^n$

Saludos

[danielandresbru]

Re: ¿Qué es un diferencial?

Hola alex disculpa las molestias , pero si es cierto entonces no entiendo por que pensar que es erroneo

[Weip]

Re: ¿Qué es un diferencial?

¿Cuales de las siguientes afirmaciones no son ciertas en vuestra opinión?

No creo que el problema esté ahí. Aunque ya que preguntas $dy$ no es una variable, es una función (aplicación lineal y demás). $dx$ igual. Pero es que esto no es mi opinión, es como están montadas las matemáticas. Alternativas siempre se pueden hacer pero no sé si llegaremos a algún sitio revisando los símbolos que usamos.

Es corrrecto definir un concepto por sus propiedades que por el significado del mismo? O Deveria de ser el complemeto de la definicion?


No creo que haga falta $a$ te suena el teorema del valor medio de Langrange y cuando dividas en intervalos mas peque$\~n$itos utiliza otras $a$'s. A $dx$ lo puedes quitar? Talvez sea que: $dx=\Delta x = 0$ cuando se hacen sumas de Riemann como decia Euler y al final te esten hablando de una determinacion $\infty 0$ y por lo que decia Guass esto te puede dar un valor dependiendo del comportamiento asintotico de $\infty$ and .

Si en la tercera afirmacion tengo un typo deveria ser $f'(x_o)$ en vez de $f(x_o)$. No te preocupes que acerca de la division de diferenciales, que yo estoy estudiando el calculo de una manera algebraica sin procesos infinitos y evitando los numeros reales, y que ademas es ense$\~n$ado por un matematico que no esta de acuerdo con la corriente principal de los matematicos.

Saludos

Sinceramente Jose no me he enterado de nada jajaja. Es que no veo coherencia en tus palabras. ¿De donde sacas que $dx=\Delta x=0$? ¿Y luego lo del infinito por cero?

Que despistado soy, no me habia fijado en tu firma Weip. Es obvio que quieres intentar definir diferencial de esa manera para hacer uso de las formas diferenciales. Para superficies usualmente uso mi diferencial de esta forma:

$\dst\hat{n}dS=\hat{k}dx_1 dx_2=dx_1 \times dx_2$ y sigue siendo valido que: $0=0$ como Euler decia para variar.

Saludos

Jose, mira el mensaje #65. Cálculo diferencial de primero/segundo puro y duro. Aunque me gusten las formas diferenciales, realmente no aportan nada a la definición de diferencial de una función.

como Euler decia para variar.

Te invito a volver a buscar lo que decía exactamente Euler porque su cita no apoya tus argumentos.

Dicho esto y respondiendo, podemos definir diferencial, como una forma abusiva de escribir $d =\lim_{\Delta \to 0} \Delta$, y así abusando de esta notación escribir derivada como una "división de diferenciales", o integral como "suma de la función * el diferencial". Recordar que ésto es un abuso, un abuso que da una idea intuitiva, pero errónea, y sin embargo muy útil.

Hola alexpglez. Justamente lo que intentamos es quitar de la mesa todas esas "malas prácticas" y ver qué queda. Definir el diferencial usando esa forma abusiva no es riguroso y lleva a tantos aciertos como errores. Sobre el resto de lo que has dicho no hay ninguna duda y lo comparto, la historia en que la discusión se ha encallado con el $dx=x$.

Finalmente me gustaría volver a recuperar el mensaje #65 y preguntar a los que tenéis dudas qué es exactamente lo que os chirría. Imagino que con la definición de diferenciabilidad nadie tiene problema. A partir de ahí la deducción de $dy(x)=y'(a)x$ y $dy(x)=y'(a)dx$ es rápida. Si aún así no os gusta ¿qué problema hay con la definición de $dy(x)=y'(a)x$? El cálculo en una variable funciona con ella. Por concretar cosas porque estamos dando vueltas sobre lo mismo.