Integral compleja

[ataru]

Se que este problma no es de fisica pero necesito solucionarlo,a ver si podeis ayudarme con esta integral,que hace ya 5 años que curse metodos matematicos y no se muy bien como se hace

$\int_{0}^{2\pi} sin^{2n}(t)dt$

siendo n un numero natural

Se supone que debe resolverse por el metodo de los residuos y usando el binomio de newton.

A ver si podies echarme una mano.Gracias

[pod]

Re: Integral compleja

Se que este problma no es de fisica pero necesito solucionarlo,a ver si podeis ayudarme con esta integral,que hace ya 5 años que curse metodos matematicos y no se muy bien como se hace

$\int_{0}^{2\pi} sin^{2n}(t)dt$

siendo n un numero natural

Se supone que debe resolverse por el metodo de los residuos y usando el binomio de newton.

A ver si podies echarme una mano.Gracias

Prueba lo siguiente. Usa la fórmula de Euler (una de ellas),

$$\sin t = \frac{1}{2i} \left( \mathrm{e}^{it} - \mathrm{e}^{-it} \right) \ .$$

Luego introduce un cambio de variables.

[carroza]

Re: Integral compleja

Lo mas facil es:

1) Usa la expresion del seno en terminos de exponenciales que te dijo Pod.

2) Desarrolla formalmente el binomio de newton para $(e^{it}-e^{-it})^{2n}$

3) Ten en cuenta que la integral entre 0 y $2 \pi$ de $e^{imt}$ es cero, salvo que $m=0$. Por tanto, solo te queda contribucion para la integral de un sumando.

4) Al final, te debe quedar una expresion que depende del numero combinatorio 2n sobre n.