Secundaria Integración multiple

[juantv]

Tardes,

Se debe seguir algún patrón al plantear una integral múltiple?o da igual el orden en que integre(respetando los limites de integración para cada variable)? esto es:

$\dst\int_a^b\int_c^d f(x,y) \,dy\,dx = \int_c^d\int_a^b f(x,y) \,dx\,dy$

si no importa el orden de integración, quiere decir que todas las formas posibles deben dar lo mismo, es esto cierto?


Agradezco la aclaracion
[FONT=Consolas]
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[Aer]

Re: Integración multiple

[FONT=monospace]
Ten en cuenta el Teorema de Fubini.

Sea $f:(x,y)\in R \subseteq \mathbb R^2 \to f(x,y) \in \mathbb R$ una función continua en el rectángulo $R:=[a,b]x[c,d]$. Entonces las dos integrales iteradas de $f$ en $R$ coinciden y son iguales a la integral doble de $f$ en $R$:[/FONT]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [FONT=monospace]

Teorema de Fubini para regiones X-Y proyectables

Si $U$ es simultáneamente una región X-proyectable e Y-proyectable, entonces las integrales previamente definidas coinciden:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

No es muy complicado razonar por qué, si tienes problemas visualiza las integrales como sumas, donde en cada punto sumas el valor de la función f(x,y) por su diferencial de área dxdy, que da igual el orden dydx. Por tanto da cuando el recinto lo permita dará igual integrar primero respecto a una y luego respecto a la otra.

Saludos
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[juantv]

Re: Integración multiple

Todo esto de la no importancia del orden de integración es también valido para integrales de mas grado( triples, cuádruples, etc...) ?

[Aer]

Re: Integración multiple

Investiga un poco sobre las integrales múltiples, puedes llegar tu a la conclusión. Respecto a tu pregunta, no importa el orden, siempre que te lo permita el recinto de integración.