Secundaria Integral doble

[Weip]

Tengo una duda sobre la integración doble a ver si me podeis ayudar. Es la primera vez que lo hago y he leído por internet como hacerlo pero no logro entender lo que os voy a explicar.
Pongamos que yo tengo una ecuación (creo que se llaman ecuaciones diferenciales pero ni idea) como esta:

$d^2 x=\frac{1}{x} dt^2$ (Es más larga pero me la he inventado para que se entienda la idea)

Para quedarme sin diferenciales supongo que habrá que integrar dos veces. El problema es que:
1-No sé que límites de integración poner en cada integral.
2-No sé integrar ni $d^2 x$ ni $dt^2$.

Yo lo que haría así a lo loco sería:

$\dst \int_{x_0}^x \int d^2 x=\int\int \frac{1}{x} dt^2$

Ni idea los límites de integración y menos aún en el segundo miembro. Si esto no se puede hacer porque en el otro miembro el diferencial y la variable no se pueden integrar da igual me interesa más saber como integrar $dt^2$. O si no considerad $\frac{1}{x}$ como una constante cualquiera que se pueda sacar de las integrales.

Según yo el resultado en el primer miembro en la primera integracion sería $\dst \int_{x_0}^x x dx+C$ y después de la segunda integración $\frac{x^2}{2} +C$ (La constante me gustaria sacármela de encima aunque siempre me puedo inventar las condiciones de contorno del problema para eliminarla).
También he probado de integrarlo como $\dst \int_{x_0}^x \int d dx$ pero $d$ no sé como integrarlo. Según mi profesora de matemáticas la integral indefinida de $d$ sería $x+C$ pues la variable es 1 (dudo sobre la certeza de esta afirmación)

El segundo miembro como digo ni idea. Puede que $dt^2$ se puede escribir como $t dt$ y así solucionar el problema pero no sé.

El resultado del primer miembro no lo sé pero creo que ha de dar $x$, pero no sé si es el resultado de la integral o el resultado de jugar con los diferenciles y luego te queda eso. o ninguna de las dos posibilidades.

Agradecería mucho vuestra ayuda, he estado buscando información pero no he encontrado solución a mi problema.

Gracias por adelantado.

[arivasm]

Re: Integral doble

Ciertamente, lo que tienes es una ecuación diferencial de orden dos. Aunque en esencia se trata de integrar dos veces, no se hace de la manera que has indicado, sino que hay que recurrir a otras técnicas. Una posible, para el caso que pones, pasa por llamar $\dst v=\frac{\dd x}{\dd t}$, de manera que la ecuación inicial sería $\dst \frac{\dd v}{\dd t}=\frac{1}{x}$. Para deshacerse del t podemos reescribir la ecuación original como $\dst \frac{\dd v}{\dd x}\frac{\dd x}{\dd t}=\frac{1}{x}$, es decir $\dst \frac{\dd v}{\dd x}v=\frac{1}{x}$. De esa manera podemos separar ambas variables y tener $\dst v\dd v=\frac{\dd x}{x}$, lo que nos lleva a la primera de las integraciones: $\dst \int v\dd v=\int \frac{\dd x}{x}$. El resultado es $\dst\frac{1}{2}v^2=C+\ln x$, donde, como en cualquier otra integral C es una constante de integración cuyo valor deberá determinarse por las condiciones iniciales.

Para hacer la segunda integración despejamos v: $\dst v=\frac{\dd x}{\dd t}=\sqrt{2(C+\ln x)}$, y luego integramos. Cosa que no haré, pues tan sólo se trata de ilustrar el método. Por supuesto, aquí aparecerá una segunda constante de integración que, al igual que la otra, habrá que determinar a partir de las condiciones iniciales.

De todos modos, no pienses que todas las ecuaciones diferenciales se resuelven así. Sólo ha sido un ejemplo. La solución de ecuaciones diferenciales es todo un mundo, con sus propias técnicas, trucos y dificultades. Si estás interesado en el tema debes buscar algún texto al respecto. Como siempre, yo te recomendaría un libro. Si quieres, puedo recomendarte alguno. Pero es una cuestión que se suele estudiar en la licenciatura...

Sólo he escrito todo esto para no decirte un seco "no, no es así".

Saludos!

[Weip]

Re: Integral doble

Ostras algo que no me había dado cuenta es que llamas $v$ a $\frac{\dd x}{\dd t}$, siendo $v$ una variable cualquiera. Yo lo había resuelto de la misma forma que tú has puesto que mi $v$ es mi velocidad (puesto que mi caso es de física), por eso me sorprendo que en caso de que la cosa no fuera así podría haber llamado a un cociente diferencial de otra forma.

La cosa es que yo ya lo había resuelto así como digo y he llegado donde quería. Pero he sentido curiosidad de como resolverlo por la parte dificil (ya sé que siempre es mejor el camino fácil pero por si acaso para mi mismo hago los dos) pero no sé si hay que integrar dos veces (como dices que como lo hago yo pues como que no). Y por cierto, aunque ya lo he resuelto por otra forma tiré el papel y por eso no me acuerdo de la solución.

Me gustaria resolver la ecuación con las dobles integrales (si ese es el método correcto claro, porque las he puesto por intuición) por curiosidad o como preparación al futuro, pero lo quiero resolver así. Si tú o alguien me ayudara estaria muy agradecido. Dobles integrales numéricas sé hacer pero con incógnitas me cuesta mucho, y si son como las que he puesto ya no sé.

De todas formas gracias porque me acabo de dar cuenta del amplio mundo de las ecuaciones diferenciles, y por lo que he visto, las que yo estoy haciendo son sencillitas.

[arivasm]

Re: Integral doble

Las ecuaciones diferenciales de orden 2 que puedes resolver con integrales dobles son aquéllas que en el segundo miembro sólo aparece la variable independiente. Es decir, si $\dst\ddot x=\frac{\dd^2 x}{\dd t^2}=f(t)$. Pero piensa que puede haber ecuaciones de la forma $\ddot x=f(x,\dot x, t)$. De todos modos, sin duda, el primer paso para poder entrar en el mundo de las ecuaciones diferenciales es integrar, lo que también tiene, como sabes, su "miga". De hecho hay integrales dificilísimas, e incluso analíticamente imposibles, como la engañosa $\dst\int \frac{\ee^x}{x}\dd x$.

[Weip]

Re: Integral doble

Desde luego $\dst\int \frac{\ee^x}{x}\dd x$ es engañosa. Por intentarlo, lo haría así: $e^x \ln x +C$, pero no sé, demasiado fácil creo, seguro que tiene truco.
De todas formas aunque al final mi ecuación no se deba resolver así me gustaria saber el procedimiento para realizar $\dst \int_{x_0}^x \int d^2 x$ por un lado y $\dst\int \int dt^2$ por otro y haber que límites de integración debería colocar.

[arivasm]

Re: Integral doble

Comenzaré por la integral engañosa. Si derivas la respuesta que pusiste verás que no da el integrando, sino $\ee^x\left(\ln x+\frac{1}{x}\right)$. Sobre la integral que pones, insisto: no se corresponde con el concepto de integral (área bajo la curva que definen la gráfica... ni tampoco límite cuando el número de subintervalos tiende a infinito de la suma...)

[Weip]

Re: Integral doble

¿Entonces esas integrales no se pueden hacer por que no son correctas conceptualmente?

[arivasm]

Re: Integral doble

Yo entiendo que no! (salvo, como dije antes, si la segunda derivada se iguala con una función exclusivamente de la variable indepediente). De todos modos, no estaría de más que algún docto compañero del foro lo confirmase o desmintiese.