1r ciclo Demostrar límite por definición (epsilon-delta)

[skns]

Buenas,

¿Alguien puede ayudarme a demostrar por la definición de límite: límite de la función 2x/(2+x) cuando x tiende a 1 es igual a 2/3 ?

[arivasm]

Re: Demostrar límite por definición (epsilon-delta)

Pues simplemente hay que aplicar la definición: "el límite de f(x) cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo $\epsilon>0$ existe un $\delta>0$ tal que para todo x en el intervalo $(c-\delta,c+\delta)$ satisface que $|f(x)-L|<\epsilon$".

Trasladado a tu problema será así: "el límite de $\dst\frac{2x}{2+x}$ cuando x tiende a 1 es 2/3 si y sólo si para todo $\epsilon>0$ existe un $\delta>0$ tal que para todo x en el intervalo $(1-\delta,1+\delta)$ satisface que $\dst\left|\frac{2x}{2+x}-\frac{2}{3}\right|=\frac{4}{3}\left|\frac{x-1}{2+x}\right|<\epsilon$"

Por tanto, sólo te falta aplicar que si se cumple la condición de que para cada $\epsilon>0$ entonces $\delta=|x-1|>0$ (lo que es muy evidente) y viceversa (que también es muy obvio).

[skns]

Re: Demostrar límite por definición (epsilon-delta)

si si, esto ya lo tengo claro. pero en este caso particular, al tener el término (x+2) abajo, no sé como hacer para establecer la condición de epsilon mayor que cero, implica que delta es igual al valor absoluto de (x-1) mayor que cero.

[arivasm]

Re: Demostrar límite por definición (epsilon-delta)

Fíjate en que al pertenecer x al intervalo $(1-\delta,1+\delta)$, tienes que $|x-1|<\delta$, mientras que $3-\delta<|x+2|<3+\delta$, lo que significa que el denominador toma como valor más pequeño $3-\delta$. De esa manera para cada $\delta$ tenemos que debe cumplirse que $\dst\epsilon > \frac{4}{3}\frac{\delta}{3-\delta}$. Si despejas $\delta$, tienes que para cada $\epsilon>0$ habrá que tomar $\dst\delta<\frac{9\epsilon}{4+3\epsilon}$, lo que está evidentemente garantizado.