1r ciclo limite numerador y denominador del mismo grado

[PedroAAI]

Hola, tengo una duda bastante elemental que me está atormentando. De toda la vida nos enseñaron que el límite cuando x tende a infinito de un cociente de igual grado en el numerador que el denominador e resultado es el cociente.
Pero hoy resolviendo un ejercicio de series en un función del parámetro k me dio: $\lim_{x \to \infty} {\frac{9 (x+1)^k}{x^k}} = 9 , k \le 10$ y $\lim_{x \to \infty}{ \frac{9 (x+1)^k}{x^k} }= \infty , k > 10$, el resultado no me aparece en el boletín ni nada, lo hallé representando la función en el matlab y mirando a donde tendía cuando $x \longrightarrow \infty$, la duda que tengo es esta, en algún momento esta regla deja de funcionar?, lo cual a mi me parece que si, ya que en algún momento los polinomio de menor grado del numerador cobrarán fuerza por decirlo así y harán que el cociente tienda a infinito. Estaría agradecido si me contestarais, gracias

[arivasm]

Re: limite numerador y denominador del mismo grado

Pues o lo has programado mal o has descubierto un bug en el Mathlab, porque para k finito ambos límites son el mismo, 9!

Añado: $\dst\lim_{x\to\infty}\frac{9(x+1)^k}{x^k}=9\lim_{x\to\infty}\frac{(x+1)^k}{x^k}=9\left(\lim_{x\to\infty}\frac{x+1}{x}\right)^k=9\;1^k=9$

[guibix]

Re: limite numerador y denominador del mismo grado

Sí, el límite que expones es 9 para cualquier $k$ y la regla se cumple siempre. Incluso para una $k=1000$ el límite sigue siendo 9.

Saludos.

[PedroAAI]

Re: limite numerador y denominador del mismo grado

Gracias, no pretendo abusar, pero entonces en este caso:
Considera la serie funcional $\sum \frac{x^n}{n^k3^{2n-1}}$ , donde k > 0. Determina en funcion de k su radio de convergencia y su caracter en los extremos.
Para calcular el radio hago:
$R=\lim_{n \to \infty}{\frac{a_{n}}{a_{n+1}}}=\lim_{n \to \infty}{\frac{(n+1)^k3^{2n+1}}{n^k3^{2n-1}}}=\lim_{n \to \infty}{\frac{(n+1)^k3^2}{n^k}}=9$ independientemente del valor de k.
estaría bien así?