derivada de la delta de Dirac

[pod]

Re: derivada de la delta de Dirac

Hola. ¿No es esto imposible? Si las funciones son infinitamente derivables, y son cero fuera de un intervalo, ¿no podría hacer una prolongación analítica, y concluir que también son cero dentro del intervalo?

Demuestro que es posible poniendo un ejemplo:

$$\phi(x) = \left\{<br /> \begin{array}{ll}<br /> \exp\left[- n \left( \dfrac1x + \dfrac1{1-x} \right) \right] & x \in (0, 1 ) , \\<br /> 0 & x\not\in (0, 1) .<br /> \end{array}<br /> \right.$$

[arreldepi]

Re: derivada de la delta de Dirac

La función es infinitamente diferenciable, lo que sucede es que no es analítica, no se puede hacer un Taylor de ella. Pero si coges el ejemplo de pod, verás que puedes derivarla con continuidad tanto como quieras. Siempre te saldrá un polinomio por una exponencial que se muere en el límite del contorno.

Saludos!

[reti]

Re: derivada de la delta de Dirac

[FONT=CMR12]
Gracias "arreldepi" por la aclaracion sobre la naturaleza de la distribucion no regular delta de dirac y del sentido de su derivada (disculpa la tardanza en contestar). Entiendo entonces que la expresion [/FONT]

$x\delta'(x) = -\delta(x)$ (1)

$\int\dd x\delta'(x)x\phi(x) = -\int \dd x \delta(x)\phi(x) = -\phi(0)$ (1.a)

$\langle\delta'(x),x\phi(x)\rangle = -\langle\delta(x),\phi(x)\rangle = -\phi(0)$ (1.b)
[FONT=CMR12]

Tienen el mismo significado en el sentido de distribuciones. Me imagino que si se extrapola el razonamiento que se ha hecho para llegar a la expresion (1), entonces es valida la expresion general para la derivacion enesima de la distribucion, dada por :
[/FONT]


${x}^{k}\delta^{ \left( k\right)}\left[ \varphi\right]= {(-1)}^{k}\delta\left[ \varphi\right] ={(-1)}^{k}{\varphi}(0)$ (2)

[FONT=CMR12]
Todo esto tiene sentido porque se busca entender si al estado descrito por la distribucion delta de Dirac es posible darle algun signifcado fisico, lo que previamente te obliga a darle sentido matematetico a sus dervadas. Yo hago el razonamiento siguiente.... " si un electron puede estar, aunque sea idealmente, en un estado descrito por la distribucion de Dirac, se tendra que dar alguna de las siguiente dos situaciones:


Situacion (a)
La distribucion de Dirac es una posible solucion (en el sentido de las distribuciones) de la ecuacion de Schrrodinger o de la ecuacion de Dirac (estacionaria).


Situacion (b)
El electron no responde a ninguna de las anteriores ecuaciones pero responde a alguna hipotetica ecuacion diferencial de la que la delta de Dirac es una posible solucion.


Creo que es claro que alguna de estas dos situaciones tiene que darse, aunque en realidad si se piensa un poco en ello resulta la misma situacion. Es directo demostrar, basandose en la expresion (2), que solo para el caso de un potencial muy especial dado por $V\left( x \right)= \frac{a}{{x}^{ 2} }$ la ecuacion de Schrrodinger puede identificarse con la expresion (2). Pienso que solo puede afirmarse que el electron puede estar el estado descrito por la "delta de Dirac" solo en el caso que estemos dispuestos ( los que piensen que el electron es un punto, que no es mi caso.) a admitir que la ecuacion dada por:

${x}^{k}\delta^{ \left( k\right)}\left[ \varphi\right]= {(-1)}^{k}\delta\left[ \varphi\right] ={(-1)}^{k}{\varphi}(0)$

se corresponde con una situacion fisica real.
[/FONT]

- - - Actualizado - - -

No ha quedado muy claro esto:

[FONT=CMR12]Es directo demostrar, basandose en la expresion (2), que solo para el caso de un potencial muy especial dado por la ecuacion de Schrrodinger puede identificarse con la expresion (2)[/FONT]

asi que voy a intentar detallar de donde sale. Se parte de la ecuacion de Schrodinger estacionaria, que es:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

y se supone que $\Psi\left( \right)$ es una distribucion, en particular la $\delta\left( x \right)$ y se intenta ver si existe alguna situacion en la que esto pueda ser cierto. Para que sea asi, supongo, que la expresion

${x}^{k}\delta^{ \left( k\right)}\left[ \varphi\right]= {(-1)}^{k}\delta\left[ \varphi\right] ={(-1)}^{k}{\varphi}(0) \xrightarrow{k=2}{x}^{2}\frac{{\mathrm{d} }^{2 }}{\mathrm{d}{x}^{2 } }\delta\left[ \varphi \right]=\delta\left[ \varphi \right]$

debe de ser equivalente a la de Schrodinger, con lo que si no me he liado ...

${x}^{ 2} = \frac{a}{V\left( x \right)- E }\Rightarrow V\left( x \right)-E= \frac{a}{{x}^{2 } }$

resultado que yo no le encuentro ningun sentido a menos que $E=-\infty$.

En fin, que lo la delta de Dirac no hay por donde pillarla, (en mi opinion), lo que deja la posibilidad de que el electron, o de cualquier otra particula, este en un estado representado por la delta de Dirac en el limbo de la irrealidad matematica, no solamente fisica.

[arreldepi]

Re: derivada de la delta de Dirac

Hola, quizás estoy muy espeso pero no termino de entender lo que quieres decir.

Si tu pregunta es si podemos tener una función de onda (que no estado) $\psi(x) = \delta(x)$, la respuesta es que "sí". Siempre que haces física clásica tu estado es ese. La partícula está totalmente localizada. Ahora bien, según la relación de incertidumbre de Heisenberg, eso te llevará a una incertidumbre infinita en el momento. Esto es comparable a tener un estado delta dirac $\tilde{\psi}(p)=\delta(p)$ en el espacio de momentos, lo cual es una onda plana, que tiene velocidad perfectamente definida pero la posición está infinitamente dispersada, pero de la misma forma que las partículas puntuales, las ondas planas no existen.

Aun así, creo que no es esto lo que estás preguntando.

Además no soy capaz de seguir demasiado bien tu cálculo. Si quieres, prueba usar como función de onda:

$$\psi_a(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}a\left(\frac{\sin(ax)}{ax}\right),$$

que cuando $a\to\infty$ se comporta como una delta de Dirac, y a ver qué obtienes (no lo he probado y no sé qué saldrá). O prueba usar, por ejemplo,

$$\psi_\varepsilon(x)=\frac{\eee{{-x^2}/{4\varepsilon}}}{\sqrt{4\pi\varepsilon}}$$

que cuando $\epsilon\to 0^{+}$ también se comporta como una delta Dirac.

A ver qué potenciales obtienes y cómo pueden interpretarse en el límite correspondiente.

Espero haber ayudado algo!
Saludos!

[guibix]

Re: derivada de la delta de Dirac

Buenas,

No sé si aportaré nada nuevo, pero quería remarcar algo que dijo Pod en el hilo que esmenta.

Según entendí yo, cualquier función que cumpla con $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\dd x=1,$ puede usarse como delta de Dirac aplicando el límite

$$\delta(x)=\lim_{a \to \infty}af(ax)$$

Eso me genera una duda ¿porqué es tan importante que sea una función infinitamente diferenciable si lo importante es que cumpla $\int_{a}^{b}\delta(x-x_0)f(x)\dd x=f(x_0)$ para todo $a<x_0<b$?

[arreldepi]

Re: derivada de la delta de Dirac

Hola! Las distribuciones no se basan tan sólo en usar la delta de Dirac, hay infinitas distribuciones y para poder usar determinadas propiedades debe satisfacerse que las funciones test sobre las que actúan estén definidas en un dominio compacto (es decir, que fuera de una frontera se anulen). Con ello, por ejemplo, puedes cargarte la parte u·v que aparece al integrar por partes, y lo más importante, te aseguras de que tus cosas converjan si la distribución es bien comportada en el dominio en que la función test sobre que actúa es no nula.

Sobre las famílias delta de Dirac, lo que dices es prácticamente cierto, la función debe satisfacer alguna condición de más, pero esa es la clave. Yo he puesto esas dos porque son las más típicas y además suelen aparecer en MQ.

Saludos!

[carroza]

Re: derivada de la delta de Dirac

La función es infinitamente diferenciable, lo que sucede es que no es analítica, no se puede hacer un Taylor de ella. Pero si coges el ejemplo de pod, verás que puedes derivarla con continuidad tanto como quieras. Siempre te saldrá un polinomio por una exponencial que se muere en el límite del contorno.

Saludos!

Hola. Gracias, Pod y Arredelpi. Acabo de aprender que "analítico" no es equivalente a "infinitamente diferenciable".

¿Podeis recordarme la definición de función analítica?

Saludos

[reti]

Re: derivada de la delta de Dirac

Acabo de aprender que "analítico" no es equivalente a "infinitamente diferenciable".

¿Podeis recordarme la definición de función analítica?

Segun la wiki las funciones analiticas son aquellas que se pueden desarrollar en forma de una serie de potencias convergente. La diferencia entre funciones de variable real y variable compleja es que ...

...para la funciones reales, no toda funcion infinitamente derivable es analitica ...
... para las funciones complejas, toda funcion infinitamente derivable es analitica ...


Como las matematicas en las que se basa la teoria cuantica es de variable compleja, para las funciones que representan estados se cumple eso de ser analitica y ser al mismo tiempo infinitamente derivable.

Si tu pregunta es si podemos tener una función de onda (que no estado) , la respuesta es que "sí". Siempre que haces física clásica tu estado es ese. La partícula está totalmente localizada. Ahora bien, según la relación de incertidumbre de Heisenberg, eso te llevará a una incertidumbre infinita en el momento. Esto es comparable a tener un estado delta dirac en el espacio de momentos, lo cual es una onda plana, que tiene velocidad perfectamente definida pero la posición está infinitamente dispersada, pero de la misma forma que las partículas puntuales, las ondas planas no existen.

No. Estas completamente equivocado, "arreldepi".

En cuantica se definen los operadores momento y posicion como "observables" y eso le dan cotegoria de "realidad". Esos operadores se expresar mediante sus autofunciones (desarrollo espectral de la identidad ... o algo asi, creo que se llama) y es importante saber si esas funciones existen.

Por de pronto, esas autofunciones no existen dentro de un Hilbert porque no son funciones de cuadrado intergrable. La solucion que se adopta entonces es ampliar el espacio de Hilbert para que esas funciones queden dentro de la ampliacion, y a eso creo que se le llama espacio de Hilbert equipado. Todo parece estar ahora bien, tenemos un espacio de Hilbert equipado como "realidad" y podemos definir los los operadores momento y posicion dentro de el.

¿Donde esta el problema?

Pues que en el 1º postulado de la mecanica cuantica se olvidaron de cambiar lo de "Espacio de Hilbert Separable" por lo de "Espacio de Hilbert Equipado".

¿ La razon? ... pues seguramente porque entonces tienes que admitir que esos estados son fisicamente realizables y no todo el mundo estaria de acuerdo con ello.

¿ Y por que no estarian de acuerdo ?... No porque se viole el principio de incertidumbre o la energia sea infinita, que eso no tiene importancia evidentemente, si no porque tendrias que admitir que son soluciones de la ecuacion de Schrodinger o Dirac (o cualquier otra que se te ocurra) cosa que no son.

Asi que ... mejor lo dejamos como esta, con lo de "Espacio de Hilbert Separable", definimos nuestros observables (nuestra realidad) como si realmente se pudiesen definir en ese espacio y operamos con ellos imaginando los electrones como puntos. !Que importa cual es la realidad si siempre podemos decir que hablar de ella es solo filosofia!

[pod]

Re: derivada de la delta de Dirac

Segun la wiki las funciones analiticas son aquellas que se pueden desarrollar en forma de una serie de potencias convergente. La diferencia entre funciones de variable real y variable compleja es que ...

...para la funciones reales, no toda funcion infinitamente derivable es analitica ...
... para las funciones complejas, toda funcion infinitamente derivable es analitica ...

Como las matematicas en las que se basa la teoria cuantica es de variable compleja, para las funciones que representan estados se cumple eso de ser analitica y ser al mismo tiempo infinitamente derivable.

Por lo que recuerdo del tema, la teoría de distribuciones funciona tanto sobre reales como sobre complejos (o cualquier otro cuerpo) de forma similar. Las distribuciones "normales" requieren que las funciones test tengan soporte compacto (i.e, que sólo sean no nulas en un subconjunto compacto del cuerpo sobre el que se definen); mientras que las distribuciones "temperadas" cambian esa condición por una de decaimiento suficientemente rápido en el infinito.

Esas condiciones de decaimiento rápido en el infinito son similares en espíritu, aunque no idénticas, a las que se imponen a las funciones de onda cuánticas; así que uno siempre debe pensar que, en física, se utilizan las distribuciones temperadas, no las más restrictivas.

No. Estas completamente equivocado, "arreldepi".

Yo, personalmente, estoy bastante de acuerdo con lo que dice arreldepi.

Aunque, bueno, este hilo se ha creado en el foro de mates, no de cuántica, y su tema original era la delda de Dirac (y por lo tanto, la teoría de distribuciones).

[reti]

Re: derivada de la delta de Dirac

Las funciones de onda se definen sobre los reales asi que no son de variable compleja y me imagino que lo de ... "toda funcion derivable es analitica" ... no va con ellas. Pero la funcion de el spin se define sobre los complejos asi que siempre me he hecho un lio a la hora de decidir si las funciones que representan a los estados son de variable real o de variable compleja.

.....
Yo, personalmente, estoy bastante de acuerdo con lo que dice arreldepi.

¿podrias ser mas concreto?
¿La distribucion delta de dirac es un elemento de un ${L}^{2 }({R}^{3}$), (Espacio de Hilbert complejo y separable)?

(un si o un no es suficiente)

Aunque, bueno, este hilo se ha creado en el foro de mates, no de cuántica, y su tema original era la delta de Dirac (y por lo tanto, la teoría de distribuciones).

La pregunta sobre la delta de Dirac la planteo en un contexto fisico, en particular de fisica cuantica, pero la pregunta es sobre sus aspectos matematicos. En particular, sobre su existencia matematica en un espacio de Hilbert complejo y separable (de hay mi empeño en intentar averiguar de que ecuacion diferencial, en el sentido de distribuciones, es solucion la delta de Dirac). Esta claro que mi pregunta, aunque puramente matematica, tiene una razon de ser para mi que en este caso es puramente filosofico, pero pienso que con independencia de mi motivacion al formular la pregunta esta debe ser considerada estritamente de indole matematica.

Desconozco cual el esquema mental que usa la direccion del foro para clasificar las preguntas, asi que solo puedo expresar por adelantado mi aprobacion ante cualquier posible movimiento o desplazamiento del hilo.

[pod]

Re: derivada de la delta de Dirac

Las funciones de onda se definen sobre los reales asi que no son de variable compleja y me imagino que lo de ... "toda funcion derivable es analitica" ... no va con ellas. Pero la funcion de el spin se define sobre los complejos asi que siempre me he hecho un lio a la hora de decidir si las funciones que representan a los estados son de variable real o de variable compleja.

No acabo de entender este comentario. Si uno representa el estado como funciones, los argumentos de dichas funciones son los valores propios de uno (o más) operadores. Así que si uno define la función del spin, lo hará sobre el valor propio de $S^2$ y $S_z$, que no tienen parte imaginaria. De hecho, tampoco tienen parte irracional, ya que el spin siempre es un número semiimpar.

¿La distribucion delta de dirac es un elemento de un ${L}^{2 }({R}^{3}$), (Espacio de Hilbert complejo y separable)?

Como se ha dicho en este hilo (y en el que enlacé anteriormente), la delta de Dirac no es una función, sino una distribución. Por lo tanto, obviamente no puede formar parte de ningún conjunto de funciones.

Lo que ocurre es que las distribuciones, en gran parte, se comportan como el espacio dual de las funciones. Es decir, es posible generar una distribución a partir de una función (que cumpla determinadas condiciones). No obstante, no todas las distribuciones se pueden obtener a partir de una función. Sin embargo, muchas de ellas sí, y eso nos permite formalmente tratar a las distribuciones como si fueran funciones. Por eso, a menudo tratamos la delta como si fuera una función.

¿Como se justifica esto, a parte de ser un truco formal? Pues a través del concepto de sucesión de distribuciones. Resulta que hay sucesiones de distribuciones donde todos y cada uno de ellas sí se puede obtener mediante una función normal. Y el limite de esa sucesión de distribuciones es la distribución delta. Es decir, tenemos una sucesión de funciones que da a lugar a una sucesión de distribuciones. Así que es posible pensar que la "función delta" (inexistente, estrictamente hablando) es el limite de la sucesión de funciones. Luego, según las definiciones de límite de sucesión de funciones, ese límite no existe como función; pero sí existe en el mundo de las distribuciones, y eso es lo que nos permite hacer el tratamiento formal que hemos comentado.

En física, obviamente nos aprovechamos de este truco formal porque tiene un significado bien claro. En muchos ámbitos de la física, no sólo en cuántica.

[reti]

Re: derivada de la delta de Dirac

......
En física, obviamente nos aprovechamos de este truco formal porque tiene un significado bien claro. En muchos ámbitos de la física, no sólo en cuántica.

A mi no me parece un truco formal.

Una funcion $f(x)$cualquiera yo puedo definirla como distribucion simplemente comprobando que ...




... donde es una función infinitamente diferenciable y de dominio compacto, tiene sentido. Esta claro que todas las funciones de ${L}^{2 }({R}^{3})$ se pueden definir como distribuciones, porque sencillamente esa definicion de distribucion es aplicable a ellas.

Se puede extender el espacio de ${L}^{2 }({R}^{3})$ en el sentido de distribuciones y creo (no se si estoy diciendo tonterias) que ese espacio es tan valido como como el que se utiliza de base para crearlo y que lo llaman, en general, espacios equipados.

Mi pregunta era la siguiente:

¿El Espacio de Hilbert Complejo y Separable ${L}^{2 }({R}^{3})$ contiene la distribucion delta de Dirac? Evidentemente no, porque como se ha dicho la delta es una distribucion y no una funcion.

Pero la repuesta crea una nueva pregunta:

¿El espacio funcional que se asocia a la realidad en la teoria cuantica es un Espacio de Hilbert Separable y Complejo o es un Espacio de Hilbert Separable Complejo y Equipado en el sentido de las distribuciones.?

Porque en el caso del espacio de Hilbert Equipado las deltas de Dirac son tan buenas distribuciones como la que mas y por tanto estados fisicos realizables.

[arreldepi]

Re: derivada de la delta de Dirac

Hola reti, yo tampoco sé muy bien a qué te refieres cuando dices que estoy totalmente equivocado. quizás una lectura del libro de mecánica cuántica de Galindo y Pascual te ayude en lo que preguntas, yo es el único libro de MQ que conozco que trate un poco el tema y, como mínimo para mí, no es nada fácil de seguir.

Saludos!

[reti]

Re: derivada de la delta de Dirac

......
Si tu pregunta es si podemos tener una función de onda (que no estado) $\psi(x) = \delta(x)$, la respuesta es que "sí". Siempre que haces física clásica tu estado es ese. La partícula está totalmente localizada. Ahora bien, según la relación de incertidumbre de Heisenberg, eso te llevará a una incertidumbre infinita en el momento. Esto es comparable a tener un estado delta dirac $\tilde{\psi}(p)=\delta(p)$ en el espacio de momentos, lo cual es una onda plana, que tiene velocidad perfectamente definida pero la posición está infinitamente dispersada, pero de la misma forma que las partículas puntuales, las ondas planas no existen.
.....

Lo que quiero de decir es que las cosas existen o no segun como las definas.

Si defines el espacio del sistema fisico como Hilbert Separable y Complejo pues entonces la delta de Dirac no es un estado fisico. Pero si defines el sistema fisico como Hilbert Separable y Equipado entonces la delta de Dirac si es un estado fisico y no solamente un artificio matematico sin existencia real.

Mi duda es que no se que se considera sistema fisico en cuantica, si un espacio u otro. Si dices que las autofunciones de operador de posicion estan descritas por la ecuacion:

$\hat{X}\delta\left( x\right) = x \delta\left(x \right)$

estas afirmando implícitamente que se considera sistema fisico el Hilbert Equipado, sin importar que tu creas o no que son artificios, porque si no esa afirmacion carece de sentido matematico.

¿El espacio asociado a la realidad es un Hilbert Equipado, si o no?

Mas concretamente. En el postulado 1º, la cuantica dice que el espacio fisico de trabajo es un Espacio de Hilbert Separable y Complejo. Luego en otro postulado posterior especifica mas y dice de que espacio de Hilbert se trata al afirmar que los estados verifican la ecuacion de Schrodinger.

Pero al mismo tiempo, en otro postulado, define los autoestados del operador posicion como los que verifican la ecuacion funcional $\hat{X}\delta\left( x\right) = x \delta\left(x \right)$, con lo que entra en contradiccion con el 1º postulado, ya que ambos son incopatibles.

No se si queda mas o menos claro. (De ahi mi interes por saber la derivada de la funcion delta. Para averiguar que ecuacion diferencial debe sustituir a la de Schrodinger y no entrar asi en contradiccion con los postulados.

[carroza]

Re: derivada de la delta de Dirac

Mi duda es que no se que se considera sistema fisico en cuantica, si un espacio u otro. Si dices que las autofunciones de operador de posicion estan descritas por la ecuacion:

$\hat{X}\delta\left( x\right) = x \delta\left(x \right)$

Una aclaración: Cuando se dice que la función delta es un autoestado del operador posición, estamos diciendo que

$\hat{X}\delta\left( x-a \right) = a \delta\left(x -a \right)$

donde "a" es una constante cualquiera, no como "x", que es una variable que de utiliza para definir la función de onda.

Esto queda más patente utilizando notación de kets:

$\hat{X}|a> = a |a>$

Donde $|a>$ es un estado cuántico muy localizado en torno a la posición "a". La función de onda que corresponde a este estado cuántico, en la representación de configuración es

$<x|a> = \delta(x-a)$

Saludos