1r ciclo Problema con diferencial

[Physicist]

Muy buenas!

Tengo un ejercicio donde me piden comprobar que $\vec{f}(x,y) = (f_{1}(x,y),f_{2}(x,y)$ es diferenciable en (0,0) y poner su diferencial.
A la hora de escribir su diferencial, por ejemplo respecto de x, aplicando la regla de la cadena tengo $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial f_1 }\frac{\partial f_1}{\partial x }dx + \frac{\partial f}{\partial f_2}\frac{\partial f_2}{\partial x}dx$
¿Cómo hago $\frac{\partial f}{\partial f_1 }$? (Me dan las funciones $f_{1}(x,y)$ y $f_{2}(x,y)$)

¿Existe otro método para hallar el diferencial más claro o simplemente diferente?

Gracias!

[arivasm]

Re: Problema con diferencial

Si no me equivoco, debes demostrar que tanto $f_1$ como $f_2$ son diferenciables, lo que equivale a decir que existen sus derivadas parciales en (0,0) y que son continuas. Para encontrar la diferencial debes multiplicar la matriz jacobiana por el vector $(\dd x,\dd y)$. Si aún no has visto la matriz jacobiana la idea sería ésta:
$\dst\dd\vec f=(\dd f_1,\dd f_2)=\left(\frac{\partial f_1}{\partial x}\dd x+\frac{\partial f_1}{\partial y}\dd y,\frac{\partial f_2}{\partial x}\dd x+\frac{\partial f_2}{\partial y}\dd y\right)$

[Physicist]

Re: Problema con diferencial

Muchas gracias!!!

Si por algún casual me da que el jacobiano son todo 0... El diferencial puede ser (0,0)? Qué sentido tendría que fuese (0,0), si lo tiene?

[arivasm]

Re: Problema con diferencial

Por supuesto que puede ser (0,0) (entiendo que te refieres al valor en un punto, no en todo el espacio -en este último caso, la función debería ser un vector constante-). Eso significaría que las funciones f_1 y f_2 tienen extremos relativos en el punto de cálculo.

[gdonoso94]

Re: Problema con diferencial

Siento reabrir este tema, pero ya que está mencionado aquí, pregunto:

Para que sea una función diferenciable, ¿qué condiciones tiene que tener la matriz jacobiana?

Una vez hallada esta, ¿basta con multiplicar por el vector $(\dd x_1,\dd x_2,.... \dd x_n)$?

Me refiero, ¿con eso queda demostrado que una función es diferenciable o hay que acudir a la definición de diferenciabilidad?

Un saludo!

[arivasm]

Re: Problema con diferencial

¿qué condiciones tiene que tener la matriz jacobiana?

Todos sus elementos deben existir y ser continuos.

¿con eso queda demostrado que una función es diferenciable o hay que acudir a la definición de diferenciabilidad?

La respuesta en el fondo es la misma que si nos hacemos la pregunta con funciones reales de variable real: "¿para ver si es diferenciable, basta con hacer la derivada y comprobar que existe y es continua, o hay que aplicar la definición de derivada?". Al igual que en este caso, no veo razones por las que sea necesario recurrir a la definición.