Divergencia y Convergencia

[gdonoso94]

Re: Divergencia y Convergencia

Esa g(x) no está bien acotada. Tienes una fracción y no puedes eliminar el denominador tan al tuntún. Podrías acotarla con $1/x^3$, Con lo que converge.

Saludos

[AlejandroR]

Re: Divergencia y Convergencia

Hola, entonces no entiendo como se acota una función para que salga g(x)..

[gdonoso94]

Re: Divergencia y Convergencia

A ver, claramente en el denominador el x a la cuarta cuando x tiende a infinito es mucho más grande que lo demás, por lo que podemos "prescindir" del resto de componentes del denominador. En el numerador si a infinito le sumas o restas 2 cuando tiende a infinito, sigue siendo infinito. Por tanto la función acotada que nos queda es $\frac{x}{x^4}=\frac{1}{x^3}$.

El tema es operar y darse cuenta de las cosas que puedes descartar y las que no.

Un saludo!

[AlejandroR]

Re: Divergencia y Convergencia

y en estas integrales es: de 1 a infinito .cos(x)/x su g(x)= 1/x? porque la que manda es el la x, no? ya que con el cos, siempre se va repitiendo y la de : integral de 0 a infinito (x+1)/raiz(x^3+2x+3) que sería x/raiz(x^3) ya que los otros no influyen, no? y entonces quedaría raiz de x?

[gdonoso94]

Re: Divergencia y Convergencia

La primera función converge, acotar funciones se usa cuando la integral no tiene solución "fácil". Halla la integral y aplica la definición de una integral impropia (por los límites de la integral).

La segunda quedaría $x/x^{1/3}=x^{2/3}$.

Saludos!

[AlejandroR]

Re: Divergencia y Convergencia

bueno, la primera ni he visto si era fácil o difícil hehe, sólo veo que me es muy dificil encontrar su g(x) y no lo veo como se puede encontrar..

[gdonoso94]

Re: Divergencia y Convergencia

La primera serie converge. La integral de cos(x)/x se llama función coseno integral, y tiene unas propiedades peculiares y tal, pero converge. Puedes leer algo sobre esta función aquí: 2 Cosine integral.

Un saludo!

- - - Actualizado - - -

Te recomiendo que eches un ojo a estos apuntes. Los escribió un profesor de mi facultad. Mira el apartado 4.
m5.pdf

Saludos!

[AlejandroR]

Re: Divergencia y Convergencia

Hola, gracias por los apuntes, pero joé sigo sin entender como hacer el g(x), ese es mi problema, que no veo como hacer la parte de g(x)

[gdonoso94]

Re: Divergencia y Convergencia

A ver si algún otro forero puede echarme una mano para explicarte cómo acotar funciones, porque es así como sale la g(x).

[arivasm]

Re: Divergencia y Convergencia

Hola, he leído en teoría que si f(x)<g(x) y g(x) diverge entonces f(x) tambien lo hace,

La primera anotación está ya en el primer post, que cito. Simplemente eso no es cierto. Quizá se trataba de "si $0\leq f(x)\leq g(x)$ y $\int_a^\infty g(x)\dd x$ converge entonces también lo hace $\int_a^\infty f(x)\dd x$".

Por cierto, recomiendo a Alejandro que aprenda a escribir ecuaciones en los mensajes, pues es muy incómodo leerlas tal como las pone.

En segundo lugar, es imprescindible que entienda los motivos de la afirmación anterior. En los apuntes de gdonoso94 hay un buen dibujo en la página 96 para entender por dónde van los tiros.

Una vez comprendido eso debería quedar claro que la $g(x)$ puede ser cualquiera que satisfaga la condición anterior. Como sucede con tantas otras cosas de las Matemáticas la experiencia es una buena guía para la elección de la misma. No hay una única regla (algo muuuy usual en el mundo de la integración).

No entiendo exactamente lo de "acotar" para que te salga esa g(X)..

"Acotar" significa "limitar". La condición "si $0\leq f(x)\leq g(x)$" se puede expresar diciendo "si $f(x)$ está acotada por 0 y $g(x)$.

Lo que decía gdonoso94 era que él no simplificaba, sino que buscaba una acotación. La idea de "en los polinomios nos cargamos los exponentes pequeños de $x$ frente al mayor" puede ser una pauta, pero no siempre. Por eso matizaba que no se trata de "simplificar" sin más.

Como te dijo más adelante, hay que procurar usar funciones de comportamiento conocido. Si "simplificas" sin más, puede suceder que llegues a algo que te diga tan poco como el problema original.

[AlejandroR]

Re: Divergencia y Convergencia

arivasm, creo que lo he entendido, he visto algunos videos y ejemplos y creo que lo he entendido ya.

He hecho unos ejercicios que son:
$\int_{0}^{\inf} \frac{x+2}{ 2x^4+3x^2+2} dx$$\lim_{b \to \infty}\int_{0}^{b} \frac{x+2}{ 2x^4+3x^2+2} dx$$\frac{x+2}{ 2x^4+3x^2+2}\leqslant \frac{1}{x^3}[$[FONT=Trebuchet MS] y g(x) diverge, por lo tanto la f(x) también.


[/FONT]$\int_{1}^{\inf} \frac{cosx}{x^2}dx$$\frac{cosx}{ x^2}\leqslant \frac{1}{x^2}$[FONT=Trebuchet MS] y g(x) converge, por lo tanto la f(x) también.[/FONT][FONT=Trebuchet MS]

[/FONT]$\int_{0}^{\inf} \frac{x+1}{ \sqrt(x^3+2x+3)}, dx$$\lim_{b \to \infty}\int_{0}^{b} \frac{x+1}{ \sqrt(x^3+2x+3)} dx$$\frac{x+1}{ \sqrt(x^4+2x+3)}\leqslant \frac{1}{\sqrt(x)}$[FONT=Trebuchet MS] y g(x) diverge, por lo tanto la f(x) también.

Están bien estos ejercicios???

Un saludo![/FONT]

- - - Actualizado - - -

TEngo otra duda, este ejercicio está bien?
$\int_{-\inf}^{\inf} \frac{x+1}{ x^4+4} dx$$\int_{-\inf}^{0} \frac{x+1}{ x^4+4} dx+\int_{0}^{\inf} \frac{x+1}{ x^4+4} dx$$\frac{x+1}{ x^4+4}\leqslant \frac{1}{x^3}[$[FONT=Trebuchet MS] y g(x) diverge, por lo tanto la f(x) también.


[/FONT]

[gdonoso94]

Re: Divergencia y Convergencia

La primera y segunda están bien. La tercera no sé cual es la función exáctamente, deberías revisar lo que escribes antes de enviarlo.

La última está bien acotada y todo, pero $\frac{1}{x^3}$ converge. Un saludo!


Como nota, también debes comprobar la convergencia o divergencia en los puntos que no pertenecen al dominio de la función. Por ejemplo, la integral:

$\dst\int_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{x^2-1}}$

Se anula en el $\pm 1$. También debes comprobar qué le ocurre a la función en dichos puntos. Un saludo!

[AlejandroR]

Re: Divergencia y Convergencia

Hola gdnoso94, ya lo he arreglado.

No entiendo a cual te refieres de que se anula, porque en la cuarta, al ser elevado a la cuarta, par, pues es imposible que salga un número para restarle al 4 o para que en el denominador de 0.


Un saludo y gracias!

- - - Actualizado - - -

Por cierto este ejercicio $\int_{0}^{\inf} \frac{1}{\sqrt(x) (1+x)} dx$

se hace con el limite de a->0 de $\int_{a}^{1} \frac{1}{\sqrt(x) (1+x)} dx$ + lim b->infinito de $\int_{1}^{b} \frac{1}{\sqrt(x) (1+x)} dx$

que da 3pi/2, no?

un saludo!

[gdonoso94]

Re: Divergencia y Convergencia

No digo que tu cuarta función se anule, digo que es algo que tienes que tener en cuenta.

La función que no se entendía diverge, pero deberías comparar con: $g(x)=\frac{1}{x}$. Aunque a decir vedad he acotado $\frac{x+1}{\sqrt{x^4+2x+3}}$ (Has cambiado la función en pleno desarrollo). El caso es que diverge.

Esa última pregunta que haces no la entiendo. Escribe bien el código de LaTeX por favor. Echa un ojo a esta guía: Cómo introducir ecuaciones en los mensajes.

Un saludo!

[AlejandroR]

Re: Divergencia y Convergencia

Hola, he vuelto a hacer el ejercicio y sí tenias razón es $g(x)=1/x$.

Ya he editado lo de la función.

lo de la integral en que señalas que no están en el dominio, sigo sin verlo , porque veo que todos están en el dominio, o lo dices como concepto general? para las próximas funciones?


un saludo!.