Secundaria Serie de potencias a partir de integral e^x

[Turing]

Hola!

No tengo fundamento suficiente de cálculo aún en 2º de Bachiller pero me gustaría saber si lo que planteo aquí puede ser cierto.

Sabiendo que $\int e^x = e^x$

He pensado en realizar este procedimiento, no sé si será correcto:

$(1-\int) e^x = 0$

así pues

$e^x=\frac{1}{1-\int } 0 = (1+\int + \iint + \iiint + ...) 0$

pero como $\int 0 = 1, \int 1 = x , \int x = \frac{1}{2} x^2 ...$

¿se podría terminar con una serie de potencias tal que: $e^x = 0 + 1 + x + \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{6} x^3 + ...$ ?

Muchas gracias y lo siento por los más que probables errores!

[Weip]

Re: Serie de potencias a partir de integral e^x

$(1-\int) e^x = 0$

No entiendo qué has hecho aquí. El símbolo de la integral es un simple símbolo, no puedes operar con él, hace falta que actúe sobre una función. En los siguientes pasos te pasa lo mismo, tratas al símbolo de la integral como una incógnita cuando no lo es.
Además, te has olvidado la constante de integración varias veces, recuerda que cuando integras indefinidamente siempre has de sumar al resultado una constante C.
Ah, y también te has dejado los diferenciales.

Espero haberte ayudado.

[Turing]

Re: Serie de potencias a partir de integral e^x

Ese paso viene de sacar factor común $e^x$ ya que:

$(1-\int ) e^x = 0$

$e^x - \int e^x = 0$

$e^x = \int e^x$

Opero con la exponencial... Pero entiendo lo que quieres decir, quizá tienes razón, gracias por responder!

[hennin]

Re: Serie de potencias a partir de integral e^x

El símbolo de la integral es mera notación, no tiene significado por sí mismo. Por tanto, no tiene sentido hacer las operaciones que has hecho con él (como si fuera un escalar).

[Weip]

Re: Serie de potencias a partir de integral e^x

Ese paso viene de sacar factor común $e^x$ ya que:

$(1-\int ) e^x = 0$

$e^x - \int e^x = 0$

$e^x = \int e^x$

Opero con la exponencial... Pero entiendo lo que quieres decir, quizá tienes razón, gracias por responder!

No, si el paso lo entiendo, lo que me refería es a que cómo justificas este paso, puesto que el símbolo de la integral no es una incógnita. Es decir, en qué te basas para sacar el factor común.

[Turing]

Re: Serie de potencias a partir de integral e^x

jajajaja entonces he creado una falacia...!

Gracias por aclararme la duda!

[ZYpp]

Re: Serie de potencias a partir de integral e^x

No, si el paso lo entiendo, lo que me refería es a que cómo justificas este paso, puesto que el símbolo de la integral no es una incógnita. Es decir, en qué te basas para sacar el factor común.

¿Por qué no puede hacerlo?

Al fin y al cabo está construyendo un operador integral de la forma $G = \frac{1}{1-\int}$ tal que al operar sobre $e^x$ cumple que

$$G\left( e^x \right) = \left( \frac{1}{1-\int }\right) e^x = 0$$

Lo cual es verdad.

[arivasm]

Re: Serie de potencias a partir de integral e^x

Desde luego tiene un montón de cosas irregulares. Pero es muuuuy ingenioso. En realidad sería una forma de álgebra de operadores. Aunque no es válida, cosas "peores" se ven en Matemáticas...

Mi mayor objeción se refiere al uso de $(1-\int)^{-1}=1+\int+\int\int+...$, pues ignora el hecho de que el desarrollo $(1-a)^{-1}=1+a+a^2+...$ sólo es válido en el radio de convergencia $|a|<1$.

Es fácil ver que la expresión no es correcta, sin más que aplicarla a una función f arbitraria: supongamos que sí fuese cierta; eso significaría que para cada f(x) debería existir una g(x) tal que

$g(x)=\frac{1}{1-\int}f(x)=f(x)+\int f(x)+\int\int f(x)+...$

Para ello, de la primera igualdad, debería cumplirse que para toda f(x)

$f(x)=g(x)-\int g(x)$

Pero entonces, por la definición de la g(x) que proporciona la segunda igualdad anterior, eso debería cumplirse que para toda f(x), $\int\int\int.._{(n\to\infty)}...\int f(x)\to 0$, cosa que, evidentemente sólo es cierta si se trata de f(x)=0 y aplicamos esta última expresión entendida como integral definida entre dos límites arbitrarios.

De hecho, podemos probarlo con una f(x) distinta de la exponencial: f(x)=x. Está claro que la g(x) sería

$g(x)=x+\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+...=e^x-1$

Pero

$g(x)-\int g(x)=e^x-1-(e^x-x)=x-1\neq x$

Por tanto, amigo Turing, concluiré dos cosas: la primera que tu demostración es incorrecta; la segunda es que posees la capacidad de pensar las cosas de manera diferente, cualidad que debes cuidar y fomentar, pues es muuuuy valiosa en ciencia. Te felicito por ello.

Quizá debas alimentar también otra cosa importante: la capacidad de dudar de ti mismo, aunque el hecho de haber sometido tu idea al contraste de otros evidencia que también la tienes.

Un buen científico debe reunir estas dos cualidades: un pensamiento alocado y creativo, capaz de generar puntos de vista diferentes, y una "boca" extremadamente prudente a la hora de analizar y emitir las ideas que produce la parte de la mente que cité en primer lugar.

[ZYpp]

Re: Serie de potencias a partir de integral e^x

PS: Un operador diferencial muy conocido es, por ejemplo, el operador cantidad de movimiento:

$$P = -i \hbar \nabla$$

que opera sobre las funciones de onda.

- - - Actualizado - - -

Mi mayor objeción se refiere al uso de $(1-\int)^{-1}=1+\int+\int\int+...$, pues ignora el hecho de que el desarrollo $(1-a)^{-1}=1+a+a^2+...$ sólo es válido en el radio de convergencia $|a|<1$.

Sólo mencionar que concuerdo con arivasm. Jamás he dicho que ese paso esté bien :^D

[arivasm]

Re: Serie de potencias a partir de integral e^x

¡Ah! y se me olvidaba! La integral de 0 no es 1, sino una constante arbitraria. Por ahí ya caería la demostración!

[Weip]

Re: Serie de potencias a partir de integral e^x

¿Por qué no puede hacerlo?

Al fin y al cabo está construyendo un operador integral de la forma $G = \frac{1}{1-\int}$ tal que al operar sobre $e^x$ cumple que

$$G\left( e^x \right) = \left( \frac{1}{1-\int }\right) e^x = 0$$

Lo cual es verdad.

Permíteme dos objeciones:

-¿Porqué no se coloca el diferencial correspondiente? Una integral sin diferencial carece de sentido (que yo sepa).

-Sigo diciendo que el símbolo de la integral por sí sólo no tiene sentido, no es un operador a no ser que tú lo digas, pero no creo que actuar así fuera el objetivo de Turing.

Además, no creo que sea válido primero definir una integral como ha hecho Turing y luego "transformarla" porque sí en un operador, perdiendo por el camino algunos de sus elementos.

[ZYpp]

Re: Serie de potencias a partir de integral e^x

Permíteme dos objeciones:

-¿Porqué no se coloca el diferencial correspondiente? Una integral sin diferencial carece de sentido (que yo sepa).

-Sigo diciendo que el símbolo de la integral por sí sólo no tiene sentido, no es un operador a no ser que tú lo digas, pero no creo que actuar así fuera el objetivo de Turing.

Escribir el diferencial es mera notación. No es la única forma de escribir el operador integral. No sería la primera vez que veo un libro en el que no se usa el diferencial en la notación de la integral. Por ejemplo en el Análisis Matemático, de Apostol (Muy pero que muy bueno, dicho sea de paso).

Pues yo creo que sí era el objetivo de Turing, sólo que él no conoce esa rama de las matemáticas. De todas formas, toda rama de las matemáticas sale de forma natural cuando hay necesidad de resolver algún problema particular. Que él haya descubierto la teoría de operadores por su cuenta es sorprendente.

- - - Actualizado - - -

De todas formas, si lo quieres con el diferencial, podría haber definido un operador de la forma:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Y el problema ese estaría solucionado.

- - - Actualizado - - -

Vaya, se me fue la olla. Rectifico:

$$G = \left ( 1 -L \right)$$

Porque, en realidad, lo de pasarlo como $\left ( 1 -L \right)^{-1} = \frac{1}{1-L}$ tampoco me parece correcto.

Saludos.

[Weip]

Re: Serie de potencias a partir de integral e^x

Escribir el diferencial es mera notación. No es la única forma de escribir el operador integral. No sería la primera vez que veo un libro en el que no se usa el diferencial en la notación de la integral. Por ejemplo en el Análisis Matemático, de Apostol (Muy pero que muy bueno, dicho sea de paso).

Pues yo creo que sí era el objetivo de Turing, sólo que él no conoce esa rama de las matemáticas. De todas formas, toda rama de las matemáticas sale de forma natural cuando hay necesidad de resolver algún problema particular. Que él haya descubierto la teoría de operadores por su cuenta es sorprendente.

Bueno, yo siempre las integrales las había visto con toda la notación, por eso lo decía.
Y finalmente, ¿cómo va a ser ese el objetivo de Turing si no sabe de esa rama? Más bien se lo encontró por casualidad, o como tú dices, "de forma natural".
Otra cosa, que descubra él solito los operadores está bien, mis felicitaciones por él, pero conozco demasiadas personas, yo incluido, que hemos hecho lo mismo con las integrales sin saberlo en nuestras primeras incursiones al territorio del cálculo, así que no nos pasemos xD.

Bueno, duda resuelta. Decir que ha sido interesante.

PD: Qué nadie se ofenda con los comentarios, que así releyendólo he visto que se puede malinterpretar.

[ZYpp]

Re: Serie de potencias a partir de integral e^x

No necesitas conocer una rama de las matemáticas para usarla. Es lo que tienen las matemáticas: que "todo" es demostrable a partir de unos axiomas conocidos. Pudo haber descubierto esa rama de forma casual cuando su objetivo era usar la integral como un operador, aunque no supiese qué es un operador según nuestros conocimientos. Desde luego le falta mucha rigurosidad y conocimiento de otras áreas, pero la audacia que tiene es interesante.

[Physicist]

Re: Serie de potencias a partir de integral e^x

Muy buenas!
Soy el único al que le parce muy curioso que con su forma de tratar a la integral haya llegado a la expresión del desarrollo de Taylor de $e^x$?