1r ciclo Continuidad en varias variables.

[mariolp]

Buenas!

Estoy retomando algunos ejercicios sobre continuidad en varias variables, el que pongo es sencillito (creo) ya que es de los primeros.
Piden estudiar la continuidad en el plano de la función

$$f(x,y)=\frac{x^2 y}{x^2 + y^4} \quad si \; \vec{x} \neq \vec{0}$$

$$f(x,y)=0 \quad si \; \vec{x} = \vec{0}$$

Es obvio que la función es continua exceptuando el punto a estudiar $(x,y)=(0,0)$
Para ello, he empezado haciéndolo por caminos, tomando $x=my^2$, con lo que llego (si no me equivoco) a que cuando $(x,y)=\vec{0}$ el límite es cero. Ahora bien, que el límite hecho por caminos de cero sólo implica que en el caso de que ese límite exista será cero. ¿Cómo pruebo que, efectivamente, ese límite existe?

Muchas gracias!

[[Beto]]

Re: Continuidad en varias variables.

Para probar que el límite existe usa la definición de límite en dos variables, la idea es similar a cuando tienes una variable: encontrar delta en función de epsilon.acá hay unos ejemplos http://www.wikimatematica.org/index...._dos_variables

[gdonoso94]

Re: Continuidad en varias variables.

Es más facil hallar el límite de la función cuando tiende a (0,0) y este tiene que ser igual al valor de la función en (0,0) es decir, 0.

Un saludo!

[angel relativamente]

Re: Continuidad en varias variables.

Es más facil hallar el límite de la función cuando tiende a (0,0) y este tiene que ser igual al valor de la función en (0,0) es decir, 0.

Un saludo!

En caso de existir, eso es cierto.

¿Cómo saber si existe? El método por caminos te hace saber un candidato (que de hecho ya lo tenías, pero si te hubiese dado otra cosa ya habría sido fácil concluir la discontinuidad). Para demostrarlo, a parte de recurrir a la definición como propone Beto, puedes utilizar el teorema del Sandwich. Las potencias de índice par son siempre positivas o cero, por lo que es sencillo ver que $\left\vert{} x^2\right\vert{}=x^2 \leqslant x^2 + y^4$. Por otro lado $\left\vert{} y^4\right\vert{}=y^4 \leqslant x^2 + y^4 \; \Rightarrow \; \left\vert{} y\right\vert{} \leqslant (x^2+y^4)^{1/4}$. Ya es fácil comprobar que el límite es lo que te piden, pues:

$0 \leqslant \left\vert{} \dfrac{x^2y}{x^2+y^4} \right\vert{}=\dfrac{x^2 \left\vert{} y \right\vert{} }{x^4 + y^4 } \leqslant \dfrac{(x^2+y^4) \cdot (x^2+y^4)^{1/4}}{(x^2+y^4)} = (x^2+y^4)^{1/4}$

Y como esto último naturalmente tiende a 0 cuando $\vec x \to (0,0)$, la función acotada (con valor absoluto) tiende a cero, por lo que necesariamente sin valor absoluto también.


Saludos.

[mariolp]

Re: Continuidad en varias variables.

Muchas gracias a todos! Ya está mucho más claro

[mariolp]

Re: Continuidad en varias variables.

Hola de nuevo!.
He visto por algún libro una forma de resolver estos límites pasando a polares y me preguntaba si es correcto ya que creo que no es estrictamente un camino.
Tendríamos que el cambio de variable sería

$$x=rcos \theta$$

$$y=rsen \theta$$

Luego el límite toma la forma

$$\lim_{{\vec x}\to (0,0)} \frac{x^2 y}{x^2 + y^4} = \lim_{{r}\to 0} \frac{r^3 cos^2 \theta sen \theta}{r^2 (cos^2 \theta + r^2 sen^4 \theta )}$$

Luego

$$\lim_{{r}\to 0} \frac{r cos^2 \theta sen \theta}{cos^2 \theta + r^2 sen^4 \theta}=\frac{0}{cos^2 \theta}=0$$

Y aquí es la parte que no acabo de entender, en los libros dice que obviamente es cero ya que el coseno (o el seno) está acotado. ¿Por qué no puede ser 0?

Muchas gracias y un saludo

[Physicist]

Re: Continuidad en varias variables.

Muy buenas:

La mayoría de las curvas se pueden expresar en polares, con este cambio lo que haces es considerar todas las posibilidades de aproximación al punto (dependiendo del ángulo y un radio). Si al final el resultado no depende de estas variables, puedes decir que no depende del camino de aproximación.

Aquí supongo que lo que te dicen es, como el coseno es una función periódica que siempre tiene un valor, 0/un valor siempre es cero. De todas formas un coseno al cuadrado es un valor muuy pequeño, así que yo lo despreciaría y pondría directamente el resultado igual a 0. (Pero no estoy muy seguro de esta simplificación)

Un saludo

[mariolp]

Re: Continuidad en varias variables.

Entonces, si al hacer el cambio a polares estoy considerando todas las posibilidades de aproximación quiere decir que estoy "haciendo" todos los caminos, ¿y si obtengo un valor para ese límite forzosamente tendrá que tomar ese valor? Es decir, ¿no tendría que demostrar que ese límite existe?

Muchas gracias!

[Physicist]

Re: Continuidad en varias variables.

Sisi claro, ese limite que obtengas hay que demostrarlo por la definición

[mariolp]

Re: Continuidad en varias variables.

Gracias de nuevo.

Pongo aquí otro límite con el que tengo dudas.

La demostración la aplico de la siguiente manera:
Dado un límite

$$\lim_{ {\vec x} \to (x_o , y_o)} = L$$

Existe si para todo $\varepsilon > 0$ existe un $\delta > 0$ tal que $0<\sqrt{(x-x_o)^2 + (y-y_0)^2} < \delta$ entonces [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Entonces, tengo el siguiente límite

$$\lim_{ {\vec x} \to (0,0)} \frac{x^2 y^2}{x^2 y^2 + (x-y)^2}$$

Que tomando rectas obtengo que es 0. Ahora para comprobar si realmente el límite existe aplico la definición y parto de:

$$\left\vert{} \frac{x^2 y^2}{x^2 y^2 + (x-y)^2} - 0 \right\vert{} \leqslant \left\vert{} x^2 y^2\right\vert{}$$

Esto tengo que relacionarno de alguna manera con $\sqrt{x^2 + y^2}$.

No veo como relacionarlo en este caso. ¿Si no encuentro que $\left\vert{} \frac{x^2 y^2}{x^2 y^2 + (x-y)^2} - 0 \right\vert{} \leqslant \sqrt{x^2 + y^2}$ significa que ese límite no existe?

Muchas gracias,

Un saludo

[Physicist]

Re: Continuidad en varias variables.

Un buen truco es considerar:

$\left\vert{} x\right\vert{} = \sqrt{x^2} \leqslant \sqrt{x^2 + y^2}$
$\left\vert{} y\right\vert{} = \sqrt{x^2} \leqslant \sqrt{x^2 + y^2}$

Si sustituyes x e y por estas expresiones y simplificas con cuidado al final te dará un resultado que podrás relacionar con $\sqrt{x^2 + y^2}$

[mariolp]

Re: Continuidad en varias variables.

Hola,

Haciendo el cambio que indicas desde donde me había quedado

$$\left\vert{} x^2 y^2\right\vert{} = (\left\vert{} x\right\vert{} \left\vert{} y\right\vert{})^2 \leqslant (\sqrt{x^2 + y^2} \sqrt{x^2 + y^2})^2=(x^2 + y^2 )^2$$

lo cual es obviamente mayor que $\sqrt{x^2 + y^2}$, entonces, ¿el límite no existe?

Si hago esto mismo desde el principio al tener uno de los términos del denominador $(x-y)$ ese término se hace cero y queda $\frac{1}{1}$ por lo cual ¿tampoco existiría el límite?

Muuchas gracias

[Physicist]

Re: Continuidad en varias variables.

Con tu primer resultado si que existe el límite, si terminas de aplicar la definición:

$\left\vert{} f(x,y) - 0\right\vert{} < \varepsilon$ siempre que $\sqrt{x^2 + y^2} < \delta(\varepsilon)$

Si llamas "r" a $\sqrt{x^2 + y^2}$ tienes que $(x^2 + y^2)^2 = r^4$
Considera también una función $\varphi(r)$ que es $\left\vert{} f(x,y) - 0\right\vert{} \leqslant \varphi(r)$

Para hallar $\delta(\varepsilon)$ resuelves esta ecuación:
$\varphi(\delta) = \varepsilon$ que componiendo las funciones queda:

$\delta(r)^4 = \varepsilon$ y despejando el exponente:

$\delta(r) = \varepsilon^(1/4)$

Y esto demuestra que existe el límite, aunque igual es mejor que lo explique alguien que se exprese mejor y que tenga todo más claro xDD

[mariolp]

Re: Continuidad en varias variables.

Perfecto! Creo que ya me ha quedado más o menos claro este tema.

Pongo otra duda ya que sigue estando relacionada con el tema.

En estos casos, cuando me pedían analizar la continuidad, buscaba los puntos críticos (normalmente el 0,0) y hacía el límite cuando $\vec{x} \rightarrow \vec{x_o}$ para ver si era igual que $f(\vec{x_0})$.

Mi duda viene cuando me piden analizar, por ejemplo, la diferenciabilidad de una cierta función que puede ser:

$$f(x,y)=\frac{x^2 - y^2}{x^2 +y^2}$$

Para ver si es diferenciable hago las derivadas parciales y compruebo si son continuas. Si lo son, la función es diferenciable.
Hago primero la derivada respecto a x

$$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\frac{3x(x^2+ y^2) - 2x^4 }{(x^2 + y^2 )^2}$$

Ahora, tengo que analizar la continuidad de esta derivada y aquí viene el problema. Si no me dicen cuanto vale en (0,0) esa derivada no está bien definida, por lo tanto ¿no puedo asegurar que la función sea diferenciable en (0,0)?

Se que la diferenciabilidad se puede probar de diferentes maneras pero la duda es que pasa cuando te dan una función y tienes que analizar su continuidad.

Otro ejemplo, me piden analizar la continuidad de

$$f(x,y)=arc\tan (\frac{x+y}{1-xy})$$

Ahí, el problema está cuando $x=\frac{1}{y}$ ¿Cómo analizo ese punto?

Muchas gracias de nuevo amigos!

[mariolp]

Re: Continuidad en varias variables.

Alguien puede echarme una mano con esto?