Temperatura en una plancha metalica

[quasarilla]

Hola,

Tengo el siguiente ejercicio:

Sea T (X,Y) =$x^2 + y^2$ la función que da la temperatura de los puntos de una plancha metalica, demuestra que la temperatura en todo el disco;

$D = ( (x,y) pertenecen a x^2 - 2y + y^2 - 3 < o = 0$
es inferior a la temperatura en cualquier punto de la region comprendida por la rectas ;
$x-y= 5 ; x=5 ; y = -5$

Para ello, demuestra que el máximo absoluto de T sobre la primera región es menor que el mínimo de T sobre la segunda región.


Lo que yo he hecho ha sifo buscar el maximo absoluto haciendo Lagrange:,
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

He obtenido los puntos: (1/2 , + ${\sqrt (15/4)}$ ; (1/2 , -${\-sqrt (15/4)}$

He substituido en la funcion los puntos y he obtenido un numero positivo y por lo tanto tengo un maximo, no?

Para buscar los minimos no se si tengo que hacer lagrange con las 3 rectas o solo con la superficie o si tengo q calcular la superficie delimitada por las 3 rectas.

¿Algun comentario ?

[polonio]

Re: Temperatura en una plancha metalica

Al sustituir el valor (por supuesto, es positivo, pues T(x,y) siempre lo es) tienes el valor posible máximo o mínimo de la función y los puntos son donde están estos máximos o mínimos. Si suponemos que has aplicado bien los multiplicadores de Lagrange te debería salir, al menos, un máximo.

Ahora debes hacer lo mismo en la otra región (x-y=5, 0<x<5, -5<y<0) mediante los multiplicadores, obtener un mínimo y ver que el mínimo es mayor que el máximo anterior.

De todas formas, es fácil ver lo siguiente: el disco es de centro (0,1) y radio 2. El otro recinto es un triángulo de vértices (5,0), (5,-5) y (0,-5). Bien, pues la función T(x,y), la temperatura, no es ni más ni menos que el cuadrado de la distancia al origen. Puedes ver que el punto más cercano al origen del segunto recinto (5/2,-5/2) está más lejos que el punto más lejano al origen perteneciente al disco. Lo puedes representar y te ayudará a verlo.

[pod]

Re: Temperatura en una plancha metalica

Para demostrar eso, tienes que comprobar que el máximo absoluto en el disco es inferior al mínimo absoluto en el triangulo.

Para encontrar máximos y mínimos absolutos en superficies compactas, hay que seguir tres pasos:

1. Encontrar los extremos relativos en el interior. Esto equivale a hacer mínimos normales (no condicionados).

2. Encontrar los extremos relativos en la frontera. Estos son extremos condicionados. Si la frontera está definida por partes, hay que repetir el proceso en cada parte.

3. Si la frontera está definida por partes, hay que comprobar que el valor de la función en los puntos de unión de cada parte.

De los dos casos propuestos, el más completo es el triangulo (cuya frontera está definida por partes). Vamos a realizar los tres pasos anteriores:

1. Extremos en el interior, en este caso tenemos simplemente que igualar a cero las derivadas de la función:

$$\begin{aligned}<br /> \frac{\partial T}{\partial x} & = 2 x = 0 \ , \\<br /> \frac{\partial T}{\partial y} & = 2 y = 0 \ .<br /> \end{aligned}$$

La única solución es el origen, que no pertenece al triangulo, y por lo tanto no nos importa. Si que nos importará cuando hagamos el disco, pero eso es otra historia.

2. Extremos condicionados en los segmentos de la frontera. En este caso, tenemos tres.

2.1. Frontera en x=5. Lo más fácil, sería substituir directamente en la función, $T = 25+y^2$. Igualando la derivada a cero nos daría $y=0$. Este punto si es relevante; en él la temperatura es $T=25$. Si se hace por Lagrange, el resultado será el mismo.

2.2. Frontera en $y=-5$. Siguiendo el mismo razonamiento, tenemos un extremo en $x=0$, que corresponde a $T=25$.

2.3. Frontera en $y=x-5$. Se podría hacer substituyendo, pero para practicar vamos a hacer lagrange:

$$T_\lambda = x^2 + y^2 + \lambda(x-y-5) \ .$$

Lo que nos da las condiciones

$$\begin{aligned}<br /> \frac{\partial T_\lambda}{\partial x} & = 2x + \lambda = 0 \ , \\<br /> \frac{\partial T_\lambda}{\partial y} & = 2y - \lambda = 0 \ , \\<br /> x-y & = 5 \ .<br /> \end{aligned}$$

La solución a este sistema de ecuaciones es $(x,y) = (5/2,\ -5/2)$, con $\lambda = -5$. Y en este punto, $T = 25/2$.

3. Aristas del triangulo. Ya hemos comprobado dos de ellas, nos queda sólo la arista en (5,-5). La temperatura en este punto es $T = 50$.

Las temperaturas que hemos encontrado en puntos singulares son: 25/2, 25 (dos veces) y 50. Por lo tanto, la temperatura mínima en el triangulo es 25/2.


Ahora queda la segunda parte: repetir el procedimiento para el disco. En este caso, es aún más fácil. Sigamos los pasos:

1. Extremos en el interior. Ya hemos hecho las derivadas en este caso, y hemos visto que imponen x=y=0. Este punto si pertenece al disco, y en él la temperatura es nula, T=0.

2. Extremos en la frontera. En este caso, sólo tiene una componente, que podemos escribir como $x^2 + (y-1)^2 = 4$. La función de Lagrange sería:

$$f = x^2 + y^2 + \lambda \Big( x^2 + (y-1)^2 - 4 \Big) \ .$$

Y sólo queda derivar

$$\begin{aligned}<br /> \frac{\partial f}{\partial x} & = 2x(1+\lambda) = 0 \ , \\<br /> \frac{\partial f}{\partial y} & = 2y + 2\lambda(y-1) = 0\ , \\<br /> x^2 + (y-1)^2& = 4\ .<br /> \end{aligned}$$

La primera ecuación tiene dos soluciones: $x=0$ ó $\lambda = -1$.

• Si $x=0$, la última ecuación nos da dos soluciones: $y = 3$ (que corresponde a $T=9$) e $y=-1$ ($T = 1$).
• Si $\lambda =-1$, la segunda ecuación nos da -2=0, lo cual es falso. No hay solución en este caso.

Las temperaturas que tenemos en este caso son: 0, 1 y 9. El máximo absoluto en el disco es 9.

Dado que 25/2 = 12.5 > 9, el enunciado es correcto.

Salvo error u omisión, esto debería completar el ejercicio. Claro que no deberías mirar la solución sin hacerlo tú antes...

[quasarilla]

Re: Temperatura en una plancha metalica

[quote=pod;16523]Para demostrar eso, tienes que comprobar que el máximo absoluto en el disco es inferior al mínimo absoluto en el triangulo.

Para encontrar ....../quote]

Gracias pod, eres muy muy amable.

[[Beto]]

Re: Temperatura en una plancha metalica

Salvo error u omisión, esto debería completar el ejercicio. Claro que no deberías mirar la solución sin hacerlo tú antes...

No creo que funcione anotándolo al final ¡Necesitamos spoilers!

Pd: Aprovecho también para agradecer por la explicación, no tenia del todo claro ese tema