Primaria dificultas con la resolucion de una integral indefinida.

[inakigarber]

Buenas noches,
Tengo dificultades con la resolución de la siguiente integral indefinida.

$$\int{\frac{dx}{\sqrt{7+8x^2}}}$$

Segun el libro el resultado es;

$$\frac{1}{\sqrt{8}}Ln[\sqrt{8}x+\sqrt{7+8x^2}]$$

Sin embargo cuando intento razonarlo, a mi no me da el mismo resultado. Hay algo en lo que debo estar equivocandome pero no se donde.
Vayamos por partes. Parto de que la integral se parece a
$\int{\frac{da}{\sqrt{1+a^2}}}$cuya solución es;
$Ln[a+\sqrt{1+a^2}]$Para ello hago las siguentes operaciones.

$$7+8x^2=7(1+\frac{8x^2}{7})$$

Con lo que el punto (1) me queda;

$$\int{\frac{dx}{\sqrt{7\left(1+\frac{8x^2}{7}\right)}}}$$

Saco la constante

$$\frac{1}{\sqrt{7}}\int{\frac{dx}{\sqrt{(1+\frac{8x^2}{7})}}}$$

Hago una sustitución para simplificar la integral.
$\omega^2=\frac{8x^2}{7}; por tanto; \omega=\frac{8x}{\sqrt{7}}, dx=\sqrt{\frac{7}{8}d\omega}$
Sustituyo y me queda;

$$\frac{1}{\sqrt{7}}\int{\frac{\sqrt\frac{7}{8}d\omega}{\sqrt{(1+\omega^2)}}}$$

Sacando las constantes de la integral y simplificando;

$$\frac{1}{\sqrt{8}}\int{\frac{d\omega}{\sqrt{(1+\omega^2)}}}$$

Lo cuaL me da;

$$\frac{1}{\sqrt{8}}Ln\left[\omega+\sqrt{1+\omega^2}\right]$$

Como;
$\omega^2=\frac{8x^2}{7}; por tanto; \omega=\frac{8x}{\sqrt{7}}, dx=\sqrt{\frac{7}{8}d\omega}$
Por tanto;

$$\frac{1}{\sqrt{8}}Ln\left[\frac{8x}{\sqrt{7}}+\sqrt{1+\frac{8x^2}{7}}\right]$$

Lo cual no me cuadra con el resultado que da el libro.

[ZYpp]

Re: dificultas con la resolucion de una integral indefinida.

Es inmediata. Te recuerdo que se tiene

$$\int \frac{\dd x}{\sqrt{ 1 + x^2 }} = \sinh ^{-1} \left( x \right) + C$$

Saludos.

[alespa07]

Re: dificultas con la resolucion de una integral indefinida.

Es inmediata. Te recuerdo que se tiene

$$\int \frac{\dd x}{\sqrt{ 1 + x^2 }} = \sinh ^{-1} \left( x \right) + C$$

Saludos.

Efectivamente es inmediata, pero si te piden encontrarla explícitamente sólo basta con hacer el cambio de variable $x=\sinh(u)\Rightarrow dx=\cosh(u)du$.

Este cambio de variable se intuye porque tienes la muy conocida relación: $\cosh^2(x)=1+\sinh^2(x)$.

Un saludo.

- - - Actualizado - - -

Hola de nuevo.

Al enviarte mi post debçias de estar redactando tu razonamiento ya que cuando lo leí solo tenías puesto la integral. En fin el método que usas es muy largo. Con las indicaciones que te he dado junto con el hecho de que:

$\forall x\in \mathbb{R}, \sinh^{-1}(x)=\ln(x+\sqrt{1+x^2})$

obtienes el resultado. Le echaré un vistazo a tu procedimiento igualmente para ver donde te has equivocado.


Un saludo.

- - - Actualizado - - -

A ver. Fíjate en que dentro del logaritmo puedes sacar $\frac{1}{ \sqrt[]{7}}$ en factor con lo que tu resultado es el mismo que el del libro salvo que en el tuyo restas $\ln \sqrt{7}$ que es una constante.

Así pues tratándose de una integral indefinida te da igual dicha constante.

Incluso para ser quisquilloso lo tenéis mal tanto tú como el libro ya que obvias sumar una constante abritraria .

Un saludo.

[inakigarber]

Re: dificultas con la resolucion de una integral indefinida.

A ver. Fíjate en que dentro del logaritmo puedes sacar $\frac{1}{ \sqrt[]{7}}$ en factor con lo que tu resultado es el mismo que el del libro salvo que en el tuyo restas $\ln \sqrt{7}$ que es una constante.

Así pues tratándose de una integral indefinida te da igual dicha constante.

Incluso para ser quisquilloso lo tenéis mal tanto tú como el libro ya que obvias sumar una constante abritraria .

Un saludo.

Gracias por la respuesta. Creo que lo he entendido.

$$\frac{1}{\sqrt{8}}Ln\left[\frac{8x}{\sqrt{7}}+\sqrt{1+\frac{8x^2}{7}}\right]$$

Con lo que puedo operar de la siguiente manera:

$$\frac{1}{\sqrt{8}}Ln\left[\frac{8x}{\sqrt{7}}+\sqrt{\frac{7+8x^2}{7}}\right]$$

$$\frac{1}{\sqrt{8}}Ln\left[{\frac{{8x}+\sqrt{7+8x^2}}{\sqrt{7}}}\right]$$

Con lo cual obtendria
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] Donde el ultimo termino sería la constante arbitraria que siempre se me olvida.
Gracias por la ayuda.

[Physicist]

Re: dificultas con la resolucion de una integral indefinida.

Muy buenas:

Solo un matiz al final, la constante C sigue estando en tu resultado, no la puedes determinar a no ser que te den alguna condición inicial. Ese $Ln[\sqrt{7}]$ lo metes dentro de la C y "desaparece" pero la constante sigue estando.

Un saludo

[alespa07]

Re: dificultas con la resolucion de una integral indefinida.

Gracias por la respuesta. Creo que lo he entendido.

$$\frac{1}{\sqrt{8}}Ln\left[\frac{8x}{\sqrt{7}}+\sqrt{1+\frac{8x^2}{7}}\right]$$

Con lo que puedo operar de la siguiente manera:

$$\frac{1}{\sqrt{8}}Ln\left[\frac{8x}{\sqrt{7}}+\sqrt{\frac{7+8x^2}{7}}\right]$$

$$\frac{1}{\sqrt{8}}Ln\left[{\frac{{8x}+\sqrt{7+8x^2}}{\sqrt{7}}}\right]$$

Con lo cual obtendria
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] Donde el ultimo termino sería la constante arbitraria que siempre se me olvida.
Gracias por la ayuda.

Hola.

Si quieres ser todo lo riguroso que se pueda deberia de escribir:

$\displaystyle\int{\frac{dx}{\sqrt{7+8x^2} }}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{8}}Ln\left[\frac{8x}{\sqrt{7}}+\sqrt{1+\frac{8x^2}{7}}\right]+C$

Con lo que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] con $C'=C-\ln\sqrt{7}$

Esto ya es rizar el rizo pero ya puestos.... xD

Un saludo.