1r ciclo Diferencial exacta

[neometalero]

Saludos foreros, creo que es la primera vez que pongo algo en este apartado. Estoy oxidado respecto al cálculo, estoy revisando apuntes pero no estoy seguro de lo que hago, ahi va el ejercicio.
Demostrad que $A.dr$ es una diferencial exacta, donde $A={e}^{-r }.\frac{1}{ r}(x,y,z), ({r}^{2 }={x}^{ 2}+{y}^{ 2}+{z}^{2 })$. A y dr son vectores, no sabía como ponerlo aquí. He visto que la condición para que sea una diferencial exacta es que la parcial de M respecto a y sea igual a la de N respecto a x, pero eso es para funciones de dos variables. Cómo sería en el caso de 3? Y cómo se hace ese producto escalar? Porque el producto escalar de dos vectores da un número pero en este caso no me debe dar un número sino una diferencial para poder comprobar que lo es.
Gracias!!

[alespa07]

Re: Diferencial exacta

Hola.

A y dr son vectores, no sabía como ponerlo aquí.
Gracias!!

El código LaTeX para ello es \vec{} y tienes un atajo en el panel de comandos frecuentes también.

He visto que la condición para que sea una diferencial exacta es que la parcial de M respecto a y sea igual a la de N respecto a x, pero eso es para funciones de dos variables.
Gracias!!

Esto es un truco para comprobar que se trata de una diferencial total (o exacta como prefieras) en el caso de dos dimensiones (sirve mucho para la resolucion de ecuaciones diferenciales).

Por no entrar en los requisitos de continuidad y demás $\vec A\cdot\vec{dr}$ es una diferencail exacta si existe una función $f(x,y,z)$ tal que:

$df=\vec A\cdot\vec{dr}$

Y cómo se hace ese producto escalar?
Gracias!!

Pues el de toda la vida .

Porque el producto escalar de dos vectores da un número pero en este caso no me debe dar un número sino una diferencial para poder comprobar que lo es.
Gracias!!

Si $x$ es un escalar entonces ¿$x\cdot dx$ no lo es?

Aquí ocurre lo mismo. Tienes que:

$\vec A\cdot\vec{dr}=\left( x\dst\frac{e^{-r}}{r},y\dst\frac{e^{-r}}{r},z\dst\frac{e^{-r}}{r} \right)\cdot\begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz\end{pmatrix}$

Entonces tu problema se resume a encontrar una función$f(x,y,z)$, si la hay (ya te digo ahora que la hay) que cumpla :

$df=\dst\frac{\partial f}{\partial x }dx+\dst\frac{\partial f}{\partial y }dy+\dst\frac{\partial f}{\partial z}dz=x\dst\frac{e^{-r}}{r}dx+y\dst\frac{e^{-r}}{r}dy+z\dst\frac{e^{-r}}{r}dz$

Busca dicha función y avisa si no lo lograses.

Un saludo.

[neometalero]

Re: Diferencial exacta

Mi ejercicio tiene dos partes, que demuestre que eso es una diferencial exacta por un lado y luego dice que, si $\vec{A}.\vec{dr}=d\phi$ es la función potencial, halla $\phi$. Por lo que tu me dices, parece que la primera parte se demuestre hallando esa función pero entonces en mi caso las dos preguntas se reducirían a una, algo que no tiene sentido.
Sugerencia?

- - - Actualizado - - -

Por cierto, porque en el producto escalar, el dr lo escribes como dx, dy, dz y no derivas o diferencias a partir de la relación que hay entre${r}^{ 2}$ y el resto de variables?

[alespa07]

Re: Diferencial exacta

Hola.

Por lo que tu me dices, parece que la primera parte se demuestre hallando esa función pero entonces en mi caso las dos preguntas se reducirían a una, algo que no tiene sentido.
Sugerencia?

Suele pasar que dos preguntas se resuman a una sola. Ahora mismo no sé como sería el método para comprobar que sea una diferencial exacta en $\mathbb{R}^3$, supongo que se puede generalizar el método en 2 variables.

No obstante no es necesario. Sigues teniendo dos preguntas, lo que ocurre es la respuesta de la segunda es una consecuencia inmediata de la primera. Es decir que encuentras la función que te permite asegurar que es una diferencial exacta en la primera pregunta y la identificas con la función potencial en la segunda. Al menos eso creo y no me parece descabellado.

Por cierto, porque en el producto escalar, el dr lo escribes como dx, dy, dz y no derivas o diferencias a partir de la relación que hay entre y el resto de variables?

El vector $\vec{dr}$ es un vector de $\mathbb{R}^3$ cuyas componentes son infinitesimales pero siguen siendo escalares (no se trata de un operador). Haces el producto escalar de siempre.

Un saludo.

[ZYpp]

Re: Diferencial exacta

Si $f \left(x_1,x_2,x_3,...,x_n \right)$ es de clase $C^n$, entonces es condición necesaria que las derivadas parciales cruzadas sean iguales, por ejemplo:

$$\frac{\partial ^2 f}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial ^2 f}{\partial x_j \partial x_i}$$

Ocurre lo mismo con cualquier derivada de orden superior, hasta la derivada n-ésima. Una diferencial exacta, en el caso de dos variables (por simplicidad) puede escribirse como

$$\dd \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x} \dd x + \frac{\partial \phi}{\partial y} \dd y$$

por lo que, denominando $M = \frac{\partial \phi}{\partial x}$ y $N = \frac{\partial \phi}{\partial y}$, tiene que cumplirse

$$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$$

por el hecho de ser diferencial exacta. En tu caso deberías poder hacer algo análogo sin más que derivar convenientemente. Encontrar la función de la que procede, por el contrario, requiere de un proceso de integración. Al final sí hay dos preguntas distintas, aunque si encuentras la función de la que procede matas dos pájaros de un tiro; sin embargo para saber que dicha función existe no es necesario encontrarla.

Saludos.

[neometalero]

Re: Diferencial exacta

Para buscar dicha funcion integro la expresion que me has dado en cada una de las componentes y ya esta??
Es posible que sea $\frac{r{e}^{-r }}{2 }$??

- - - Actualizado - - -

Pero la relacion que hayas para M y N me la puedes expresar en 3 variables? Porque asi si se simplifica enormemente el cálculo, pero si no, no veo cómo hacerlo sin integrar.

[ZYpp]

Re: Diferencial exacta

Pero la relacion que hayas para M y N me la puedes expresar en 3 variables? Porque asi si se simplifica enormemente el cálculo, pero si no, no veo cómo hacerlo sin integrar.

En tres variables se complica un poco la cosa, pero se resume en lo mismo: Ver que todas las derivadas cruzadas son iguales. Por ejemplo:

$$\frac{\partial \phi}{\partial x \partial y \partial z} = \frac{\partial \phi}{\partial x \partial z \partial y} = \frac{\partial \phi}{\partial z \partial x \partial y} = ...$$

Y lo mismo con las segundas derivadas cruzadas, igual que en el ejemplo de M y N, pero teniendo una tercera componente: M, N y R (por ejemplo).

Saludos.

[neometalero]

Re: Diferencial exacta

Pero en esas parciales se supone que ya conozco esa funcion potencial y no es mi caso, es lo que pretendo hallar.
Perdonad mi ignorancia pero ando muy perdido, muchos años

[ZYpp]

Re: Diferencial exacta

Actualizo:

En tu caso, usando una base conveniente, deberías reducir la "engorrosidad" del problema. Por ejemplo trabajando en esféricas. Acuérdate que al cambiar de base, $\dd \vec r$ adquiere otra expresión en función de la métrica de dicha base. En especial, para esféricas:

$$\dd \vec r = \dd r \hat u_r + r \dd \hat u_\theta + r^2 \sin \theta \dd \hat u_\phi$$

- - - Actualizado - - -

Pero en esas parciales se supone que ya conozco esa funcion potencial y no es mi caso, es lo que pretendo hallar.
Perdonad mi ignorancia pero ando muy perdido, muchos años

No, no. Recuerda que el ejemplo de dos variables teníamos $M=\frac{\partial f}{\partial x}$, por ejemplo. Se supone que $M$, $N$ y $R$ son las tres componentes de $\vec A$ (en tu caso). Para ver si $\vec A \cdot \dd \vec r$ es una diferencial exacta, no tienes más que ver si las derivadas cruzadas de $M$, $N$ y $R$ coinciden.

No sé si me he explicado bien...

[neometalero]

Re: Diferencial exacta

Puede que se reduzca lo que dices pero en mi caso esto no hace más que aportar más oscuridad al asunto. Gracias pero es que no se ni por donde coger eso ni por donde empezar

[alespa07]

Re: Diferencial exacta

Hola.

Sigo pensando que en este caso es mejor tener un poco de vista y encontrar la función (es típica en física) aunque lo que te dice ZYpp parace totalmente correcto.

Quizás escribiendo la función desarrollando la $r$ te ayuda un poco. por ejemplo, para la comonente $x$:

$(\vec A\vec{dr})_x=\dst\frac{xe^{-\sqrt{(x^2+y^2+z^2)}}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2} }$

Ahora tienes dos posiblidades:
-Ves en seguida que esta función es la derivada de una función conocida
- Intentas integrar a ver si te da.

De todas maneras fijáte en que $\dst\frac{x}{\sqrt{(x^2+y^2+z^2)} }=(\sqrt{(x^2+y^2+z^2)})'$.

Supongo que con ésta pista te será fácil concluir.

Un saludo.

[neometalero]

Re: Diferencial exacta

Integrando obtengo $-{e}^{-r }$, es esa?

[alespa07]

Re: Diferencial exacta

Hola,

Estoy en el curro desde la tablet y no puedo ver fórmulas de LaTeX. Si te refieres a -exp(-r) entonces sí esa es xD.