Secundaria Sobre cantidad de divisores

[eduardo2384]

Saludos amigos, tengo una consulta con el siguiente problema:

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El número: $4^{2n}-4^{2n-6}$ tiene 50 divisores cuadrados perfectos. Determinar el valor de $n$.


Rpta: 15

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Reescribiendo el número en factores primos obtengo que: $2^{4n-12}\times3^2\times5\times7\times 13$ pero a partir de ésto ¿como lo relaciono con los divisores cuadrados perfectos?

Gracias

[guibix]

Re: Sobre cantidad de divisores

Hola eduardo,

Ya veo lo quieren, pero no estoy de acuerdo con que el resultado sea lo que busca el enunciado o al menos no me salen las cuentas.

Lo que resulta de la solución es $2^{48}\times 3^2\times 5\times 7\times 13.$ Un divisor cuadrado perfecto (cp) que tienen todos los números es el 1. En la solución dada $3^2$ es otro (llevamos dos) y luego el $2^{48}$ tiene 36 cps más. Nos faltan unos cuantos .

Tal y como lo veo yo, podemos deducirlo por inducción:

Si lo tomamos como una sucesión tal que $a_n=(2^0,2^1,2^2...2^n),$ tenemos que $2^0=1$ tiene el 1 como divisor cp. El $2^1=2$ también tiene el 1 como divisor cp. El $2^2=4$ y el $2^3=8$ tienen el 4 y el 1. Y si miramos el $2^4=16$ y el $2^5=32$ tienen el 16, el 4 y el 1.

Si lo generalizamos para cualquier base $b$ (no tiene porqué ser el 2, solo tiene que ser entero mayor que 1) tenemos que el número de divisores cuadrados perfectos $N_{cp}(b^n)$ para todas las bases y para cada exponente cuando $n$ es par:

$$N_{cp}(b^n)=\frac n 2 +1,$$

y cuando $n$ es impar tenemos

$$N_{cp}(b^n)=\frac {n+1} 2$$

Por lo tanto $2^{48}$ debería tener 37 (contando el 1) y con el cuadrado del 3 nos quedan 38 cp

O me estoy dejando algo que no veo o el problema está mal planteado.

Creo que la confusión viene de los dos primeros términos $2^{48}\times 3^2,$ ya que 48+2=50 y supongo que querían que planteaseis la ecuación $4n-12=48$ para hallar $n=15.$

Saludos.

[eduardo2384]

Re: Sobre cantidad de divisores

Tienes razón guibix, no se porque demonios puse como respuesta a 50 si en el libro decía 15. Mil disculpas, pero gracias pues ya me aclaraste el panorama.