1r ciclo Integral triple por coordenadas esféricas

[Pepealej]

Tengo la siguiente integral que me piden que resuelva con un cambio de variable a cordenadas esféricas, pero no tengo claro como deben quedar los límites de integración. ¿Alguien puede echarme una mano? Gracias

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Sheldoniano]

Re: Integral triple por coordenadas esféricas

Estás integrando sobre la esfera centrada en el origen y de radio 2; busca las equivalencias de x,y,z en función de rho y los ángulos, rho irá de cero a dos, uno de los ángulos de cero a pi y el otro de cero a dos pi, sin olvidar de multiplicar por el jacobiano de la transformación al integrar.

Si necesitas una explicación más detallada pídela e intentaré escribirla cuando esté menos ocupado

[Pepealej]

Re: Integral triple por coordenadas esféricas

Pero hay una circunferencia de radio $\sqrt[]{2}$ en el plano XY y una esfera de radio $2$ en el espacio, ¿no?

[Centaurus]

Re: Integral triple por coordenadas esféricas

Yo también tengo dudas ¿La región de integración sería la intersección entre un cilindro y una esfera?

Para la porción esférica superior:

$\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\int_{0}^{2}r^{4} cos^{2}\theta sen\theta drd\theta d\varphi$

Para la porción esférica inferior:

$\int_{0}^{2\pi}\int_{\frac{3\pi }{4}}^{\pi}\int_{0}^{2}r^{4}cos^{2}\theta sen\theta drd\theta d\varphi$

Ahora, para el cilindro:

$\int_{0}^{2\pi}\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{3\pi }{4}}\int_{0}^{\frac{\sqrt[]{2}}{sen\theta}}r^{4}cos^{2}\theta sen\theta drd\theta d\varphi <br />$

Aclaro que no estoy seguro :3 y tal vez hice cualquier cosa, pero me viene bien practicar.

[Sheldoniano]

Re: Integral triple por coordenadas esféricas

Ups, es cierto, en tal caso sí podría ser lo que dice centaurus de la intersección.

[Centaurus]

Re: Integral triple por coordenadas esféricas

¿Alguien podría confirmar si la región de integración efectivamente es la intersección entre el cilindro y la esfera?

Gracias.

[arivasm]

Re: Integral triple por coordenadas esféricas

Quizá pueda pensarse de esta manera. La última integral, $\dst\int_{-\sqrt{4-x^2-y^2}}^{\sqrt{4-x^2-y^2}}z^2\dd z=f(x,y)$ nos proporciona una función de x e y que está evaluada, si $-2\leq x\leq 2$ y $-2\leq y\leq 2$, sumando los valores de $z^2$ en los puntos interiores de una esfera de radio 2 centrada en el origen para los cuales x e y toman unos valores determinados. Dicho de otra manera: esa integral, aunque evaluada en el interior de una esfera, asocia un valor con cada punto del plano XY del interior de un círculo de radio 2 centrado en el origen.

La integral doble restante la podemos visualizar como $\dst\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\dd y\int_{-\sqrt{2-y^2}}^{\sqrt{2-y^2}}f(x,y)\dd x$, es decir, se trata de la evaluación de la integral de la función $f(x,y)$ en el interior de un círculo del plano XY centrado en el origen y de radio $\sqrt{2}$.

Como este círculo es una parte del primero, en realidad lo que estamos haciendo es tomar sólo la parte de la primera integral que está contenida en el interior de un cilindro de eje Z y radio $\sqrt{2}$.

Al combinar esto con lo que dije en el primer párrafo la respuesta es que la integral original evalúa la integral de $z^2$ en el interior de la intersección de este cilindro y la primera esfera, como dijo Centaurus.

[Centaurus]

Re: Integral triple por coordenadas esféricas

Muchas gracias, muy clara la explicación.