Cálculo integral (dudas de ejemplos)

[ZYpp]

Re: Cálculo integral (dudas de ejemplos)

Hace tiempo que no me rompo la cabeza con una integral (lo que de hecho me encantaba: soy así de raro xD). A ver quetal con estas. Me las llevo al curro para ir pensándolas un rato .

Un saludo.

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Hola.

Ya la tengo resueltas (o eso creo al menos) .

La primera no es tan complicado si te acuerdas de usar la fórmula de Moivre y del "truco" para expresar una fracción de exponenciales en una suma de exponenciales.

La segunda me dió más quebradero de cabeza pero creo haberlo logrado también.

Supongo que es mejor que no ponga las respuestas por si alguien quiere pensarselo un poco más.

Un saludo.

¡Trampa! ¡Trampa! ¡A la hoguera!

Inténtalo sólo en $\mathbb R$, que es suficiente :^D.

A mí también me encantaba romperme la cabeza con integrales o cálculo de primitivas. Tengo una colección de buenas integrales/primitivas para resolver, pero ya aviso que son una púa de las gordas... Muchas de ellas son integrales cuya primitiva no tiene expresión analítica en términos de funciones elementales y hay que dar rodeos hasta llegar a alguna forma de obtener el valor de la integral. Sin ir más lejos, podemos demostrar la archiconocida integral del seno:

$${\int_0}^\infty \frac{\sin \left( x \right)}{x} \dd x = \frac{\pi}{2}$$

Saludos.

[byjart]

Re: Cálculo integral (dudas de ejemplos)

Realmente las respuestas serían esa pequeña ayuda que me decíais, pero ni mucho menos la resolución, a mi no me importa que las pongas, pero creo que la dificultad cae en el desarrollo.

Además si quisiese la solución hay programas como el ''WIRIS" que te la dan.

Aun así gracias por el interes!

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Realmente las respuestas serían esa pequeña ayuda que me decíais, pero ni mucho menos la resolución, a mi no me importa que las pongas, pero creo que la dificultad cae en el desarrollo.

Además si quisiese la solución hay programas como el ''WIRIS" que te la dan.

Aun así gracias por el interés!

[ZYpp]

Re: Cálculo integral (dudas de ejemplos)

Planteo las soluciones para el que quiera comprobarlas. Si al cabo de un tiempo nadie plantea ninguna solución (o no está de acuerdo con mis soluciones, que es posible que estén mal ya que están resueltas por mí xD), que me lo diga y pongo mi resolución.

$$\int_{0}^\pi \frac{\cos\left(nx\right)}{\cos\left(x\right)} \dd x=\begin{cases} \nexists & \text{si n par} \\ \left( -1 \right)^{j-1}\pi & \text{si n impar} \end{cases}$$

con $j=\frac{n+1}{2}$.

$$\int_{-\pi}^\pi \frac{\sin\left(nx\right)}{\left(1+2^x\right)\sin\left(x\right)} \dd x=\begin{cases}0 & \text{si n par} \\ \pi & \text{si n impar} \end{cases}$$

¡Ánimo!

[alespa07]

Re: Cálculo integral (dudas de ejemplos)

Planteo las soluciones para el que quiera comprobarlas. Si al cabo de un tiempo nadie plantea ninguna solución (o no está de acuerdo con mis soluciones, que es posible que estén mal ya que están resueltas por mí xD), que me lo diga y pongo mi resolución.

$$\int_{0}^\pi \frac{\cos\left(nx\right)}{\cos\left(x\right)} \dd x=\begin{cases} \nexists & \text{si n par} \\ \left( -1 \right)^{j-1}\pi & \text{si n impar} \end{cases}$$

con $j=\frac{n+1}{2}$.

$$\int_{-\pi}^\pi \frac{\sin\left(nx\right)}{\left(1+2^x\right)\sin\left(x\right)} \dd x=\begin{cases}0 & \text{si n par} \\ \pi & \text{si n impar} \end{cases}$$

¡Ánimo!

Hola.


Sin poner aún la resolución sí me gustaría comentar que si somos rigurosos la intgral que propones no está definida. Sería más correcto (es un poco rizar el rizo pero va bien para entender lo que se está presuponiendo en todos los casos) decir:

Sea $I=\left[ 0,\pi\right]-\left\{\dst\frac{\pi}{2}\right\}$ y sea la integral:

$\dst\int_{I}\dst\frac{\cos{nx}}{\cos x}{\rm d}x$, $n\geq1$

¿Para qué valores de $n$ la integral es convergente? Hallar su valor cuando converge.

A partir de ahí diría que para $n$ par la integral es divergente (el integrando presenta una discontinuidad esencial en $x=\dst\frac{\pi}{2}$).

Entonces, sea $n=2k+1$, $k\geq 0$. Se comprueba que en este caso el integrando se prolonga por continuidad en $x=\dst\frac{\pi}{2}$ por la función:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

De ahí tenemos que, $\forall k\geq 0$:

$\dst\int_{I}\dst\frac{\cos{(2k+1)x}}{\cos x}{\rm d}x=\dst\int_0^\pi\phi(x){\rm d}x$

Se calcula dicha integral y, al menos yo, llego a: (mi solución coincide con la de ZYpp)

$\boxed{\dst\int_0^\pi\phi(x){\rm d}x=(-1)^k\pi}$, $k\geq 0$

No me ha dado timepo pensar en ello mucho pero estoy curioso por saber como la resuelve ZYpp sin ayuda de los complejos . Aunque le daré unas vueltecitas antes de ir a la cama xD.

un saludo.

[ZYpp]

Re: Cálculo integral (dudas de ejemplos)

Hola.


Sin poner aún la resolución sí me gustaría comentar que si somos rigurosos la intgral que propones no está definida. Sería más correcto (es un poco rizar el rizo pero va bien para entender lo que se está presuponiendo en todos los casos) decir:

Sea $I=\left[ 0,\pi\right]-\left\{\dst\frac{\pi}{2}\right\}$ y sea la integral:

$\dst\int_{I}\dst\frac{\cos{nx}}{\cos x}{\rm d}x$, $n\geq1$

¿Para qué valores de $n$ la integral es convergente? Hallar su valor cuando converge.

A partir de ahí diría que para $n$ par la integral es divergente (el integrando presenta una discontinuidad esencial en $x=\dst\frac{\pi}{2}$).

Entonces, sea $n=2k+1$, $k\geq 0$. Se comprueba que en este caso el integrando se prolonga por continuidad en $x=\dst\frac{\pi}{2}$ por la función:

Me vale. Sin embargo, me gustaría decir dos cosas: La primera que yo no necesité hacer una extensión por continuidad (igual me colé en algún sitio, pero creo que no) y la segunda que demostrar que es extendible requiere hacer un límite que, a priori, tampoco es trivial. No me paré a hacer el límite, igual al final es una chorrada, pero sólo lo comento por si acaso.

No me ha dado timepo pensar en ello mucho pero estoy curioso por saber como la resuelve ZYpp sin ayuda de los complejos . Aunque le daré unas vueltecitas antes de ir a la cama xD.

Avisa cuando quieras y pongo mi resolución o te la envío por privado :^D.

Saludos.

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Actualizo:

y la segunda que demostrar que es extendible requiere hacer un límite que, a priori, tampoco es trivial. No me paré a hacer el límite, igual al final es una chorrada, pero sólo lo comento por si acaso.

Rectifico: L'Hôpital es nuestro amigo...

[alespa07]

Re: Cálculo integral (dudas de ejemplos)

Me vale. Sin embargo, me gustaría decir dos cosas: La primera que yo no necesité hacer una extensión por continuidad (igual me colé en algún sitio, pero creo que no) y la segunda que demostrar que es extendible requiere hacer un límite que, a priori, tampoco es trivial. No me paré a hacer el límite, igual al final es una chorrada, pero sólo lo comento por si acaso.

Hola.

Hmmm lo que he dicho hasta la igualdad de la integral sobre I y la integral de la función prolongada habría de ser necesario independientemente del método de resolución. Es que si no se plantea así la integral no está definida (aunque ya he dicho que era para ser estrictemente riguroso pero que se sobreentiende lo que uno hace). Estoy aún más curioso por saber como trataste a la integral. ¿Implica desarrollos del coseno?.

L'Hôpital o desarrollos en potencias son lo más sencillo para el límite.

Saludos.

[ZYpp]

Re: Cálculo integral (dudas de ejemplos)

Hola.

Hmmm lo que he dicho hasta la igualdad de la integral sobre I y la integral de la función prolongada habría de ser necesario independientemente del método de resolución. Es que si no se plantea así la integral no está definida (aunque ya he dicho que era para ser estrictemente riguroso pero que se sobreentiende lo que uno hace). Estoy aún más curioso por saber como trataste a la integral. ¿Implica desarrollos del coseno?.

¿Y si no la he "resuelto"? Es decir, ¿y si he obtenido el valor de la integral sin "hacer" sumas de Riemann (salvo, quizás, para algún caso trivial. Ya he dicho demasiado :^D.)? No sé si me explico.

Con desarrollos del coseno, ¿te refieres a un desarrollo en serie de potencias? En cuyo caso, no.

[alespa07]

Re: Cálculo integral (dudas de ejemplos)

¿Y si no la he "resuelto"? Es decir, ¿y si he obtenido el valor de la integral sin "hacer" sumas de Riemann (salvo, quizás, para algún caso trivial. Ya he dicho demasiado :^D.)? No sé si me explico.

Con desarrollos del coseno, ¿te refieres a un desarrollo en serie de potencias? En cuyo caso, no.

Hola.

Pensándolo bien anoche encontré otros dos métodos que no usan a los complejos para resolver la primera integral. En ambos casos (estrechamente relacionados pero metodológicamente diferentes..) no tienes que ocuparte de la convergencia o no de la integral hasta el último paso donde viene de forme natural.

No obstante, sigo manteniendo que tal y como se plantea la integral lo que dije en mi anterior post (sobre la prolongación por continuidad) es necesario independientemente del método ya que sólo se trata de que la integral esté definida. Ahora bien, si la pregunta fuera:

Hallar una expresión para la siguiente integral con $n\geq 1$:

$\dst\int \dst\frac{\cos{nx}}{\cos x}{\rm d}x$

Calcular, si es posible, su valor en el $(0,\pi)$.

En este caso sería diferente pero no le demos más vuelta a eso porque sólo se trata de ser ultra riguroso y no añade nada a los métodos de resolución que es lo que nos importa.

Mi primer método usa una relación de recurrencia sobre la integral indefinida.

El segundo usa el hecho conocido que $x\mapsto \cos{nx}$ se puede expresar como un polinomio en $\cos x$ (es basciamente el prceso contrario a la linearización de $\cos^nx$ archifamosa).

¿Tu resolución usa algo parecido?

Un saludo.

[ZYpp]

Re: Cálculo integral (dudas de ejemplos)

Mi primer método usa una relación de recurrencia sobre la integral indefinida.

Bingo. En tal caso, con calcular las integrales (si existen) para $n=0$ y $n=1$ llega.

Saludos.