1r ciclo Calcular limite en el origen

[mariolp]

Buenas!

Pongo el siguiente ejercicio a ver si me pueden echar una mano.

Se considera la función

$$f(x,y)=\begin{cases}0 & si\,(x.y)=(0,0)\\<br /> x^{2}y^{2}ln(x^{2}+y^{2}) & si\,(x,y)\neq(0,0)<br /> \end{cases}$$

Probar que tiene límite en el origen. Probar que es contínua en todo $R^2$.

Bien, lo que hago es:

Como $f$ es composición de funciones contínuas, y el término del interior del logaritmo es siempre cero o positivo tenemos que la función es contínua en $R^2$ salvo en el punto $(0,0)$ que será el que tengamos que estudiar.

Luego para probar que es contínua en $x_0$ tenemos que ver que $\vec{f} (\vec{x_0})$ es igual al límite de $f$ cuando $\vec{x} \rightarrow \vec{x_0}$.

Como $f(x,y)=0$ tendremos que comprobar si existe el límite en el origen y si es igual a . Para ello, supongo que tengo que aplicar la definición ya que el límite "a pelo" no veo como hacerlo.

Entonces, considero

$$0<\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} < \delta \Rightarrow 0 < \sqrt{x^2 + y^2} < \delta$$

y busco un $\varepsilon$ tal que

$$\left\vert{} f(x,y)-L \right\vert{} < \varepsilon$$

Es decir, parto de $\left\vert{} x^2 y^2 ln(x^2 + y^2 )\right\vert{}$ e intento llegar a alguna relación con $\sqrt{x^2 + y^2}$.

Es aquí donde está mi problema ya que no veo la forma de relacionarlos. En general no acabo de resolver bien los límites usando la definición, por lo que si alguien sabe de alguna página, PDF o libro que tenga un buen puñado de ellos resueltos sería de gran ayuda.

Muchas gracias!

[sater]

Re: Calcular limite en el origen

mira a ver por aquí:
http://www.wikimatematica.org/index...._dos_variables

[mariolp]

Re: Calcular limite en el origen

Muchas gracias sater pero ese enlace ya me lo pasaron y los ejemplos que hay ahí no están resueltos usando la definición. De hecho, de esos ejemplos, cuando no llega a que el límite no existe llega a que "probablemente" podría ser un valor, pero no llega a probarlo con la definición que es lo que quiero.

[carlosphy]

Re: Calcular limite en el origen

Puedes acercarte al punto (0,0) por infinitas direcciones. Puedes empezar fijando y=0 y evaluar el límite sólo en función de x. Recuerda que sólo existe límite si por todas las direcciones el límite es el mismo.

[mariolp]

Re: Calcular limite en el origen

Haciendo los límites por diferentes caminos obtengo en todos ellos que es igual a cero. Sin embargo, eso no prueba que lo sea, para ello tengo que acudir a la definición y es ahí donde tengo el problema

[gdonoso94]

Re: Calcular limite en el origen

por lo que si alguien sabe de alguna página, PDF o libro que tenga un buen puñado de ellos resueltos sería de gran ayuda.

No sé si te servirá, pero hay un libro de B.P. Demidovich: "5000 problemas de análisis matemático" que tiene una gran cantidad de problemas resueltos (tal y como su nombre indica, 5000), y al ser un libro de un matemático se centra mucho en las demostraciones por definición, quizá pueda ayudarte.

En cuanto al límite... Puff, menuda función!... Prueba a cambiar coordenadas así deja de ser un límite direccional, inténtalo en polares . Si no te sale así, como diría Ángel Relativamente, enciende un cirio y reza para que te venga la inspiración.

Un saludo!