1r ciclo Limite trigonométrico

[Vialonb]

Buenas a todos.

Alguien me puede decir cual es la demostración de que

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax} {\sin bx} = \frac a b$$

.

Gracias de antemano.

[pod]

Re: Limite trigonométrico

Buenas a todos.

Alguien me puede decir cual es la demostración de que

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax} {\sin bx} = \frac a b$$

.

Gracias de antemano.

No sé si ya has estudiado la técnica de L'Hôpital, pero este es uno de los típicos límites en que se puede utilizar, ya que tiene la forma de 0/0. Se trata de derivar arriba y abajo por separado. Teniendo en cuenta que la derivada del seno es el coseno, que vale uno cuando su argumento se anula, al final sólo quedan las constantes que aparecen al derivar utilizando la regla de la cadena

$$\frac{\dd}{\dd a}(\sin ax) = \cos ax \ \left( \frac{\dd}{\dd a}(ax) \right) = a \sin ax .$$

Probablemente hay otras formas de hacerlo sin L'Hôpital, en base a identidades trigonométricas, pero esta es la forma más sencilla y directa.

Eso sí, que a nadie se le ocurra cancelar la s, la i, la n y la x para decir que sólo quedan la a y la b...

[Vialonb]

Re: Limite trigonométrico

Gracias Pod, pero buscaba la demostración sin la regla de L'Hôpital.

[angel relativamente]

Re: Limite trigonométrico

Es fácil ver que, dada una constante $k$, $\dst \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin{kx}}{kx} =\lim_{x \to 0} \dfrac{kx}{\sin{kx}} =1$ (si no quieres usar l'Hôpital para demostrar este límite, mira que es la propia definición de derivada de la función $\sin kx$ en $x=0$).

Ahora puedes ver que si en el límite que propones multiplicas numerador y denominador por $abx$, queda lo siguiente:

$$\dst \lim_{x \to 0} \dfrac{abx \sin ax} {abx \sin bx} =\lim_{x \to 0} \frac a b \cdot \dfrac{\sin ax}{ax} \cdot \dfrac{bx}{\sin bx} = \dfrac{a}{b}$$

Saludos

[guibix]

Re: Limite trigonométrico

También puedes usar Taylor. Como en el límite cuando $x\to 0$ la función $\sin ax$ se puede aproximar a $ax$, nos queda

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin ax}{\sin bx}=\lim_{x\to 0}\frac{ax}{bx}=\frac a b$$

- - - Actualizado - - -

Eso sí, que a nadie se le ocurra cancelar la s, la i, la n y la x para decir que sólo quedan la a y la b...

jejeje!! Ostras, que bueno pod!

Lo mejor de hacerlo es que resulta ser correcto .

[Vialonb]

Re: Limite trigonométrico

Gracias Ángel, eso era lo que buscaba. Y gracias a ti también guibix.

Eso te iva a decir, muy buena Pod jajaja ya lo había pesado.

[pod]

Re: Limite trigonométrico

jejeje!! Ostras, que bueno pod!

Lo mejor de hacerlo es que resulta ser correcto .

Lo peor es que yo he visto hacer cosas así a un alumno mío que saqué a la pizarra...