Divulgación Se pueden resolver integrales trigonometricas sin volverse loco?

[inakigarber]

Supongo que el mejor consejo será el de intentar, intentar e intentar.
Este caso concreto que voy a proponer es uno de los varios ejemplos que me tiene despistado.

$$\int{cotg^3\left(\frac{x}{3}\right)dx}$$

Según el libro el resultado es;

$$-\frac{3cosec^2(x/3)}{2}-3Ln[sen(x/3)]+C$$

Para resolverlo me baso en esta equivalencia.

$$cotg^2(x/3)=cosec^2(x/3)-1$$

Por lo que hago
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] Me quedan por tanto dos integrales, una de las cuales la resuelvo con la sustitución

$$\omega=cotg(a)\Rightarrow\frac{d\omega}{da}=cosec(a)$$

La otra es inmediata. A mi me sale

$$-\frac{3cotg^2(x/3)}{2}+3Ln[sen(x/3)]+C$$

Cuyo resultado no me coincide con el libro.

En que me equivoco?

[visitante20160513]

Re: Se pueden resolver integrales trigonometricas sin volverse loco?

Sí se puede, sí, lo que hace falta es haber leído algo sobre métodos de integración de este tipo de funciones, conocer en profundidad la trigonometría (fundamental) y tener una cabeza bien estructurada, con las ideas bien ordenadas. El resto es fácil.

Salu2

[Breogan]

Re: Se pueden resolver integrales trigonometricas sin volverse loco?

Hola:

Mucho no me acuerdo del tema, y tengo menos practica en la resolución de estos problemas que una ameba.

Pero me parece que uno de los errores está cuando pones:

Me quedan por tanto dos integrales, una de las cuales la resuelvo con la sustitución

A mi la derivada en el cambio de variable me da:

$$\omega=cotg(\frac x 3) \quad \Rightarrow \quad d\omega=-\frac {cosec^2(\frac x 3)} 3 dx$$

puede ser?

Por otra parte hice la integral on line a mi me da:

$$-\frac{3}{2}\left[cosec^2(x/3)+2Ln[sen(x/3)]\right]+C$$

s.e.u.o.

Suerte

PD: ahora que lo veo junto con el mensaje original, veo que el resultado on-line y el del libro son el mismo.

[inakigarber]

Re: Se pueden resolver integrales trigonometricas sin volverse loco?

Gracias por la respuesta, pero a mi me sigue saliendo lo mismo. Supongo que me estoy empeñando en cometer un error que desconozco. O sea que voy a desglosar paso a paso a ver donde me equivoco.

$$\int{cotg^3(x/3)dx}$$

Partiendo de $cotg^2(x/3)=cosec^2(x/3)-1$
Por tanto

$$\int{cotg(x/3)[cosec^2(x/3)-1]dx}$$

de lo cual tendre;

$$\int{[cotg(x/3)cosec^2(x/3)-cotg(x/3)]dx}$$

De lo cual obtengo dos integrales;

$$\int{cotg(x/3)cosec^2(x/3)}-\int{cotg(x/3)dx}$$

Aunque no es necesario prefiero hacer un cambio de variable [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Por tanto;

$$3\int{cotg(\omega)cosec^2(\omega)}-3\int{cotg(\omega)dx}$$

La segunda integral es inmediata

$$3\int{cotg(\omega)cosec^2(\omega)}-3Ln[sen\omega]$$

Para la primera integral hago un cambio de variable.
$Z=cotg\omega\Rightarrow dz=-cosec^2\omega d\omega$
Sustituyendo me sale;

$$-3\int{Zdz}-3Ln[sen\omega]$$

Como $Z=cotg\omega y \omega=(x/3)$
Me sale;

$$-\frac{3cotg^2(x/3)}{2}-3Ln[sen(x/3)]$$

P.D. En el anterior post me equivoque en uno de los pasos espero no haberme equivocado de nuevo en lo escrito.

[Breogan]

Re: Se pueden resolver integrales trigonometricas sin volverse loco?

Hola:

Reemplaza en tu resultado:

$cotg^2(x/3)=cosec^2(x/3)-1$

y operando te queda el resultado del libro (creo ); el valor constante, que creo que da -3/2 (cuidado que no hice la integral ni el reemplazo, lo que digo es de ojito), pasa a ser parte de la constante de integración y desaparece su forma explicita.

Suerte

PD: un pedido, trata de ser mas prolijo en la edición de tus mensajes, se hace difícil seguir tus formulaciones ya que aparecen errores que no se sabe si son esenciales o de edición en LaTex.

[inakigarber]

Re: Se pueden resolver integrales trigonometricas sin volverse loco?

Hola:

...PD: un pedido, trata de ser mas prolijo en la edición de tus mensajes, se hace difícil seguir tus formulaciones ya que aparecen errores que no se sabe si son esenciales o de edición en LaTex.

Yo lo que traté en mi anterior post es simplemente seguir paso a paso mis razonamientos, pensando que en alguno de esos pasos hay un error de concepto y me este equivocando. Seguiré dándole vueltas al tema. En todo caso gracias por tu atención y tu tiempo.
Un saludo.

[Breogan]

Re: Se pueden resolver integrales trigonometricas sin volverse loco?

Hola:

Yo lo que traté en mi anterior post es simplemente seguir paso a paso mis razonamientos, pensando que en alguno de esos pasos hay un error de concepto y me este equivocando. Seguiré dándole vueltas al tema. En todo caso gracias por tu atención y tu tiempo.
Un saludo.

Disculpame, no fue mi intención en ningún momento que mi comentario sonara agresivo o desvalorizante, solo hice un comentario sobre una forma de presentar la solución que a mi en particular me alargo su lectura. Si te molesto de alguna forma te pido disculpas, nunca fue mi intensión.

Por otro lado es notable como las emociones (en este caso el enojo, disgusto ? ), si leí bien tu ultimo mensaje, interfieren siempre con el pensamiento racional y un debate fructífero.

Ya que siguiendo el razonamiento de mi post anterior y partiendo de tu resultado:

$\dst -\frac{3 \ cotg^2(x/3)}{2} - 3Ln[sen(x/3)]+C$

En mi post anterior sugerí que hicieras el siguiente cambio:

$cotg^2(x/3)=cosec^2(x/3)-1$

y queda:

$\dst -\frac{3 \ \left[ cosec^2(x/3) - 1\right]}{2} - 3Ln[sen(x/3)]+C$

$\dst -\frac{3 \ cosec^2(x/3)}{2} + \frac 3 2 - 3Ln[sen(x/3)]+C$

$\boxed {\dst -\frac{3 \ cosec^2(x/3)}{2} - 3Ln[sen(x/3)]+C_1}$

Y creo que este ultimo, si no me equivoque, es el resultado que te da el libro como solución.

Suerte

[inakigarber]

Re: Se pueden resolver integrales trigonometricas sin volverse loco?

Hola:



Disculpame, no fue mi intención en ningún momento que mi comentario sonara agresivo o desvalorizante, solo hice un comentario sobre una forma de presentar la solución que a mi en particular me alargo su lectura. Si te molesto de alguna forma te pido disculpas, nunca fue mi intensión.

Por otro lado es notable como las emociones (en este caso el enojo, disgusto ? ), si leí bien tu ultimo mensaje, interfieren siempre con el pensamiento racional y un debate fructífero.
..

No te preocupes, no me sentí ofendido ni disgustado en ningún momento. Solo quise ponerlo paso a paso para que se viera que razonamiento seguí y poder ver donde metía la pata.
En todo caso quizá soy yo quien tiene que pedirte disculpas y no al revés.
Un saludo y gracias por tú tiempo.

P.D. Probando con el Wólfram alpha, el resultado correcto es el del libro y el tuyo. El mio no. Quiza mas adelante me de cuenta de donde fallo. De momento desisto y me tomare un descanso de este tema.