Secundaria Dudas conceptuales acerca del diferencial de una función

[Weip]

Hola a todos, veréis, últimamente he estado comiéndome la cabeza con el diferencial de una función. En concreto, tengo dos dudas:

-La primera tiene que ver con la propia definición de diferencial de una función $f(x)$ de una variable, que es:

$df(x)=f'(x)dx$

El problema es que la definición de $df(x)$ depende de otro diferencial, $dx$, además de la derivada, y no me acaba de convencer. ¿No hay alguna otra definición matemática más clara, como por ejemplo $dy=\dst\lim_{y \to y_0} \Delta y$ o algo por el estilo? (una cosa así es como pienso que es un diferencial).

-La segunda es sobre la idea que tengo de diferencial. A mí en clase no me lo explicaron así, pero no sé porqué me quedé con la idea de que un diferencial es un incremento infinitamente pequeño. La cosa es que hace unos días encontré que en el caso de la derivada, un diferencial no es más que un incremento correspondiente a la recta tangente a un punto. La imagen sería algo así:

Y esto choca con mi idea mental. Mirando por la wikipedia he encontrado esta imagen, que coincide exactamente con mi concepto de diferencial (y de derivada):

$\varepsilon$ es un número hiperreal infinitesimal, y justamente estos números son lo que yo pensaba que era un diferencial. Entonces, ¿cuál es la idea correcta?

Gracias por adelantado.

[visitante20160513]

Re: Dudas conceptuales acerca del diferencial de una función

La idea correcta es que una variable precedida de la letra d, en la forma $dx$ no es más que una variable independiente, que puede tomar cualquier valor real. Si no te gusta esa forma de representación puedes usar una letra, la $h$ si te gusta más. No es más que eso. Es un error pensar que dicha expresión hace referencia a números pequeños, infinitesimales o hipernúmeros. Es sencillamente una variable que representa un número real. Existe mucha mitología al respecto de eso, de la que no debes hacer caso. Los misterios comienzan cuando se realizan los pasos al límite, pero no antes.

Así una expresión de la forma $dy =y'dx$ no es mas que la ecuación de una recta que pasa por el origen de unos ejes cartesianos que se cruzan en el punto (x,y) y son paralelos a los ejes coordenados, recta que tiene la misma pendiente que la función $y$. Los matemáticos llaman a esa recta espacio tangente.

Espero no haberte liado más de lo que ya estabas, este asunto se suele explicar muy mal en las aulas, debido a la gran cantidad de debates que históricamente se han producido sobre los números infinitesimales, pero hoy en día no existen misterios alrededor de eso.

La mejor representación que puedes hacerte del espacio tangente es esta, solo que cambiando $\Delta x$ por $dx$





Salu2

[Weip]

Re: Dudas conceptuales acerca del diferencial de una función

Entonces, ¿qué diferencia hay entre un diferencial y un incremento? Porqué si $dy$ es sólo una variable, entonces puedo escribir $dy=y-y_0$ ¿no?

[visitante20160513]

Re: Dudas conceptuales acerca del diferencial de una función

En realidad sí, puedes hacerlo, pero ojo porque debes tener en cuenta que las variables $dy$ y $dx$ están medidas sobre unos ejes distintos a los que representan la función.

Salu2

[ZYpp]

Re: Dudas conceptuales acerca del diferencial de una función

Siendo breve y conciso: El diferencial es la mejor aplicación lineal que aproxima la función en un punto. Matemáticamente hablando:

Dada [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , el diferencial es la única aplicación lineal

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
que anula el límite

$$\lim _{x\to x_0}\frac{\left\vert{} \left\vert{} f\left( x\right) - f\left( x_0\right) - \dd f \left( x-x_0 \right)\right\vert{} \right\vert{}}{\left\vert{} \left\vert{} x - x_0\right\vert{} \right\vert{}}=0$$

donde $J_f$ es la matriz de derivadas parciales (Jacobiana) de $f$.
Saludos.

- - - Actualizado - - -

Actualizo:
¡Ups! Para el caso de una variable...

Dada [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , el diferencial es la única aplicación lineal

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
que anula el límite

$$\lim _{x\to x_0}\frac{\left\vert{} \left\vert{} f\left( x\right) - f\left( x_0\right) - \dd f \left( x-x_0 \right)\right\vert{} \right\vert{}}{\left\vert{} \left\vert{} x - x_0\right\vert{} \right\vert{}}=0$$

donde $J_f$ es la "derivada ordinaria" de $f$: $J_f = f'$.

Así mejor...

[visitante20160513]

Re: Dudas conceptuales acerca del diferencial de una función

Es mucho más sencillo que eso, eso parece muy complicado. El diferencial de una función es algo mucho más sencillo que eso.

Según esa definición que nos aportas habría que establecer que es el jacobiano, antes de saber lo que es el diferencial, ¿estas seguro de que eso es así? No digo que eso no sea una propiedad del diferencial, pero como definición está claro que no vale.

Salu2

[ZYpp]

Re: Dudas conceptuales acerca del diferencial de una función

Es mucho más sencillo que eso, eso parece muy complicado. El diferencial de una función es algo mucho más sencillo que eso.

Según esa definición que nos aportas habría que establecer que es el jacobiano, antes de saber lo que es el diferencial, ¿estas seguro de que eso es así? No digo que eso no sea una propiedad del diferencial, pero como definición está claro que no vale.

Salu2

Desde luego es mucho más sencillo que trabajar con números hiperreales, a la vez que más riguroso que decir que es un número (porque no lo es, es una aplicación lineal).
Por otro lado, ya dije por encima qué era el Jacobiano y además simplifiqué para el caso de una variable. Desde luego no es una propiedad, ya que es la definición de diferencial. De todas formas, la idea del diferencial es la primera frase, que no sé si has pasado por alto:

"Siendo breve y conciso: El diferencial es la mejor aplicación lineal que aproxima la función en un punto."

Dicho de otra manera, es algo similar a la generalización del plano tangente (o recta tangente en una dimensión).

[Weip]

Re: Dudas conceptuales acerca del diferencial de una función

Actualizo:
¡Ups! Para el caso de una variable...

Dada [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , el diferencial es la única aplicación lineal

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
que anula el límite

$$\lim _{x\to x_0}\frac{\left\vert{} \left\vert{} f\left( x\right) - f\left( x_0\right) - \dd f \left( x-x_0 \right)\right\vert{} \right\vert{}}{\left\vert{} \left\vert{} x - x_0\right\vert{} \right\vert{}}=0$$

donde $J_f$ es la "derivada ordinaria" de $f$: $J_f = f'$.

Así mejor...

Dos cosas:

-Es que no me acaba de convencer que en la definición de diferencial aparezcan más diferenciales (dentro del jacobiano). ¿No hay alguna definición de diferencial que no dependa de su misma definición?

-No entiendo porqué consta en la definición que el diferencial anula el límite que has puesto. ¿Qué significa eso? ¿Es una propiedad importante? Que se anule lo entiendo, pero no entiendo su importancia (supongo que tendrá que ver con el proceso de derivación).

Ya que ha salido el tema del jacobiano me ha surgida una duda que no me había planteado, y es ¿qué diferencia hay entre $dy$ y $\partial y$? En las derivadas lo entiendo, me refiero sólo el diferencial.

[ZYpp]

Re: Dudas conceptuales acerca del diferencial de una función

Dos cosas:

-Es que no me acaba de convencer que en la definición de diferencial aparezcan más diferenciales (dentro del jacobiano). ¿No hay alguna definición de diferencial que no dependa de su misma definición?

-No entiendo porqué consta en la definición que el diferencial anula el límite que has puesto. ¿Qué significa eso? ¿Es una propiedad importante? Que se anule lo entiendo, pero no entiendo su importancia (supongo que tendrá que ver con el proceso de derivación).

Ya que ha salido el tema del jacobiano me ha surgida una duda que no me había planteado, y es ¿qué diferencia hay entre $dy$ y $\partial y$? En las derivadas lo entiendo, me refiero sólo el diferencial.

¿Cómo que aparecen más diferenciales dentro del jacobiano? En el jacobiano salen derivadas (parciales), que en el caso de una dimensión se reduce a la derivada ordinaria que escribes con prima.

$\partial y$ no existe, al menos que yo sepa. Ese símbolo se usa solamente para escribir las "derivadas parciales", que son más o menos las derivadas de una función respecto a una única variable. Mejor espérate a estudiar un poco de cálculo multivariable, que esto es básico y lo verás ahí seguro. La culpa es mía por meterte sin querer la definición en varias variables, perdona, a veces confundo más de lo que ayudo.

Saludos.

- - - Actualizado - - -

Actualizo: Se me olvidó comentarte que la "propiedad" de anular ese límite es la condición para que una función sea diferenciable en un punto. Es decir, es la definición de "diferenciabilidad" en un punto.

[Weip]

Re: Dudas conceptuales acerca del diferencial de una función

¿Cómo que aparecen más diferenciales dentro del jacobiano? En el jacobiano salen derivadas (parciales), que en el caso de una dimensión se reduce a la derivada ordinaria que escribes con prima.

Pero la derivada ordinaria también contiene diferenciales, $\dd y/\dd x$. Es cierto que podemos prescindir de ellos y usar el límite, pero bueno aún he de meditarlo un poco más.

$\partial y$ no existe, al menos que yo sepa. Ese símbolo se usa solamente para escribir las "derivadas parciales", que son más o menos las derivadas de una función respecto a una única variable.

Ah, entonces es sólo notación. Es que en su día también pensé que algo como $\dd f(x)$ no existía, pero me equivocaba.

Mejor espérate a estudiar un poco de cálculo multivariable, que esto es básico y lo verás ahí seguro. La culpa es mía por meterte sin querer la definición en varias variables, perdona, a veces confundo más de lo que ayudo.

No te preocupes, si en estos jardines me meto yo solito. Si no me lo hubieras comentado, ya lo preguntaría más tarde. Lo que tiene el verano, uno se aburre, empieza a pensar en diferenciales (como no hay mejor cosa que hacer) y pasa lo que pasa.

Y otra cosilla, ZYpp, el subconjunto $U$ exactamente ¿qué es? ¿un subconjunto cualquiera?



He estado pensando y me he dado cuenta que mi noción de un diferencial como algo infinitesimal viene de las integrales definidas (bueno ya lo sabía antes pero quería ver más los diferenciales implicados en las derivadas, de donde me había surgido la duda inicial). Como sabéis el área bajo una curva se puede calcular dividiendo la superfície total en infinitos rectángulos de base infinitesimal $\dd x$ y sumando todas sus áreas. En este caso, ¿también daría igual si uso $\Delta x$ en vez de $\dd x$? (creo que la respuesta es que no pero me gustaría saber vuestras justificaciones).

[ZYpp]

Re: Dudas conceptuales acerca del diferencial de una función

Pero la derivada ordinaria también contiene diferenciales, $\dd y/\dd x$. Es cierto que podemos prescindir de ellos y usar el límite, pero bueno aún he de meditarlo un poco más.

¡No! Esa forma de expresar la derivada es mera nomenclatura (notación de Leibniz), que a veces resulta útil, sobre todo en el contexto de las ecuaciones diferenciales que verás más adelante, o para aplicar la regla de la cadena. También se puede utilizar la notación de primas (notación de Newton) y tanto el significado y resultado es el mismo. ¡No confundir la notación de la derivada como un "cociente de diferenciales" con que realmente sea un cociente de diferenciales! No perdamos el norte.

Y otra cosilla, ZYpp, el subconjunto $U$ exactamente ¿qué es? ¿un subconjunto cualquiera?

En efecto, un subconjunto cualquiera.

He estado pensando y me he dado cuenta que mi noción de un diferencial como algo infinitesimal viene de las integrales definidas (bueno ya lo sabía antes pero quería ver más los diferenciales implicados en las derivadas, de donde me había surgido la duda inicial). Como sabéis el área bajo una curva se puede calcular dividiendo la superfície total en infinitos rectángulos de base infinitesimal $\dd x$ y sumando todas sus áreas. En este caso, ¿también daría igual si uso $\Delta x$ en vez de $\dd x$? (creo que la respuesta es que no pero me gustaría saber vuestras justificaciones).

También es mera notación. De hecho algunos autores (en especial Apostol, el cual personalmente me encanta) escribe la notación integral sin ningún diferencial. Teóricamente, al jugar con la partición del intervalo siempre usas $\Delta x$ y nunca un diferencial, sólo que al hacer el paso al límite de la partición, a veces se explica de forma un poco más intuitiva con el diferencial. Pero claro, hay que recordar que al igual que la derivada, la definición de integral requiere de un paso por el límite.


Saludos.

[abuelillo]

Re: Dudas conceptuales acerca del diferencial de una función

¡No! Esa forma de expresar la derivada es mera nomenclatura (notación de Leibniz), que a veces resulta útil, sobre todo en el contexto de las ecuaciones diferenciales que verás más adelante, o para aplicar la regla de la cadena. También se puede utilizar la notación de primas (notación de Newton) y tanto el significado y resultado es el mismo. ¡No confundir la notación de la derivada como un "cociente de diferenciales" con que realmente sea un cociente de diferenciales! No perdamos el norte.

El problema es o era, cuando lo fisicos cogian esa notacion, y empezaban a manipular y despejar diferenciales en las formulas, y ahi es cuando los matematicos se echaban las manos a la cabeza. Los fisicos han usado durante mas de 100 años unas manipulaciones matematicas, que no estaba demostrado que se pudiesen hacer, y que ningun matematico osaria usar bajo pena de flagelo. Solo hasta hace poco se ha demostrado que manipular los diferenciales de ese modo era valido. Y hay que echar mano de los numeros hiperreales y de una estructura matematica complicada si uno quiere entender de verdad porque se puede manipular tan alegremente esos diferenciales, como si fuesen numeros normales.

[ZYpp]

Re: Dudas conceptuales acerca del diferencial de una función

El problema es o era, cuando lo fisicos cogian esa notacion, y empezaban a manipular y despejar diferenciales en las formulas, y ahi es cuando los matematicos se echaban las manos a la cabeza. Los fisicos han usado durante mas de 100 años unas manipulaciones matematicas, que no estaba demostrado que se pudiesen hacer, y que ningun matematico osaria usar bajo pena de flagelo. Solo hasta hace poco se ha demostrado que manipular los diferenciales de ese modo era valido. Y hay que echar mano de los numeros hiperreales y de una estructura matematica complicada si uno quiere entender de verdad porque se puede manipular tan alegremente esos diferenciales, como si fuesen numeros normales.

Por eso mismo dije que mi forma de explicarlo, además de ser la académicamente "correcta", es menos compleja que usar números hiperreales. Eso es meterse en camisas de once varas.
De todas formas, cualquiera que se haya dedicado a la matemática "aplicada", ha usado las 1-formas como números; más específicamente los diferenciales. Pero no le digamos esto al chaval mientras está aprendiendo, ya se pasará por su cuenta al lado oscuro .

[visitante20160513]

Re: Dudas conceptuales acerca del diferencial de una función

Bueno, vamos a ser lo mas precisos que podamos porque si nos limitamos a las definiciones académicas que están en los libros estamos apañados. Matemáticamente hablando, y de forma rigurosa puede hacerse lo siguiente:

$y'=\displaystyle\frac{dy}{dx }\qquad \Rightarrow\qquad dy=y'dx$

y no hay nada incorrecto ni esotérico en ello, el paso anterior es perfectamente asumible en el campo real y absolutamente riguroso, precisamente por las definiciones de derivada y de diferencial. Debe tenerse en cuenta que la definición de derivada es previa a la de diferencial, primero se define la derivada como un límite, y en base a ella se define el concepto de diferencial. En el caso de funciones multivariable el diferencial se define como:

$df=\displaystyle\sum_{i = 1}^{n}f_idx_i$

siendo:

$f_i=\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_i}$

La derivada total y las derivadas parciales tienen sus propias definiciones expresadas como límites del cociente de incrementos de una función, y son absolutamente independientes de los diferenciales. Así pues son los diferenciales los que se definen con posterioridad a partir de la definición de las derivadas, y no al revés. Estas son pues las definiciones matemáticamente ortodoxas del diferencial de una función, y son las que deben usarse, cualquier otra cosa que no sea equivalente a esto creo que no me va a servir. Por ejemplo, la condición que debe satisfacer una función para ser diferenciable no tiene nada que ver con el diferencial de una función. Conviene aclarar conceptos porque estoy viendo bastante confusión. Una cosa es el diferencial de una función y otra muy distinta una función diferenciable.


Pongamos ahora un ejemplo sencillo:

$y=x^2$

y ahora supongamos que:

$x=3\qquad\Delta x=2\qquad dx=4$

entonces se tiene:

$y(x)=x^2=3^3=9\qquad\qquad\qquad y'(x)=2x=2\cdot 3=6$


$\Delta y=y(x+\Delta x)-y(x)=y(5)-y(3)=5^2-3^2=16$


$dy=y'(x)dx=2x\cdot dx=6\cdot 4=24$

capicci?

Salu2

[Weip]

Re: Dudas conceptuales acerca del diferencial de una función

¡No! Esa forma de expresar la derivada es mera nomenclatura (notación de Leibniz), que a veces resulta útil, sobre todo en el contexto de las ecuaciones diferenciales que verás más adelante, o para aplicar la regla de la cadena. También se puede utilizar la notación de primas (notación de Newton) y tanto el significado y resultado es el mismo. ¡No confundir la notación de la derivada como un "cociente de diferenciales" con que realmente sea un cociente de diferenciales! No perdamos el norte.

¿Entonces cuando hago $\dd y/\dd x$ no estoy dividiendo nada? De ecuaciones diferenciales he hecho algunas muy sencillas en el colegio, y no entiendo entonces que hago con las ecuaciones cuando dividido o multiplico por diferenciales. Yo me pensaba que expresar la derivada como un cociente de diferenciales venía del cálculo del pendiente de la recta tangente (a través de la definición de $tan \alpha$).

Pero no le digamos esto al chaval mientras está aprendiendo, ya se pasará por su cuenta al lado oscuro .

Si una cosa he aprendido con los años es que hay infinitos lados oscuros. Cada vez que salgo de una caverna como la de Platón, descubro que el exterior es otra caverna más.

Jabato, respecto a tu comentario, me pasa como al inicio del hilo: en la definición de diferencial aparece otro diferencial. En el caso de la derivada puedo escribir $\Delta x$ en vez de $\dd x$, pero de forma general no me convence.

Pensando me ha surgido una duda que de hecho tengo desde hace tiempo, y es si tiene sentido hablar de diferencial a secas, es decir, una $\dd$. Supongo que no, ya hará casi un año que me lo planteé y entonces no sabía demasiado del tema, pero por si acaso. Otra duda relacionada, ¿tiene sentido integrar un diferencial? ($\dst\int \dd$ o algo así). Según mi profesora de matemáticas eso da 1, pero por la cara que puso me da a mí que lo dijo por decir.

Finalmente, si los diferenciales no son infinitesimales, ¿porqué la rama que estudia estos temas se llama cálculo infinitesimal? Siempre había pensado que venía de aqui.
¿Al final la segunda imagen del primer mensaje está mal? Es que me gusta esa idea, y aunque tenga que generalizarla, a ver si es posible conservarla.