1r ciclo Codominio e imagen

[rruisan]

Buenas tardes me surge la duda si el codomio e imagen es lo mismo, lo que entiendo es que ambos son los elementos de llegada al evaluar la función. Gracias de antemano.

[angel relativamente]

Re: Codominio e imagen

No son la misma cosa, aunque la imagen es un subconjunto del codominio. Por ejemplo la función raíz cuadrada podenos evaluarla como una función real de variable real. Por tanto, el dominio serían los reales, y el codominio en este caso también. Sin embargo, su imagen solo serían los reales positivos.

Saludos

[pod]

Re: Codominio e imagen

De la forma que yo suelo usar la terminología, la imagen es un subconjunto del codominio. Son iguales sólo si la función es exhaustiva. Por ejemplo, la función seno puede definirse como una aplicación de los reales a los reales, y por lo tanto su codominio es $\mathbb R$. No obstante, la imagen no cubre todos los reales, sino que es únicamente el intervalo [-1, 1].

No obstante, en este punto hay cierta ambigüedad, ya que yo podría perfectamente definir la función seno como una aplicación de los reales en el intervalo [-1, 1], y por lo tanto el codominio sería sólo dicho intervalo. Y si lo hago, me quedaría tan pancho. Aunque hemos tomado una definición diferente, esencialmente tendríamos la misma función ya que el gráfico de la función, el conjunto de puntes que cumple $\big(x, \sin(x)\big)$), sigue siendo el mismo.

En general, si escribimos la función de la forma

$$f\ :\ A \longrightarrow B ,$$

el codominio es B. Es posible que exista algún elemento $b \in B$ que no tenga anti-imagen, y por lo tanto [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] (pero [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ). La ambigüedad está en que yo puedo definir otra función equivalente donde el codominio es igual a la imagen.

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
donde $f'(a) = f(a)$ (la prima no es derivada, es una comodidad de la notación).

Quizá por eso a veces se ven las funciones definidas de la forma

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[javier m]

Re: Codominio e imagen

Disculpen que sea tan tiquismiquis, pero decir que $f=B$ o $f\subset B$ es un tanto abusivo, me parece a mí. Lo correcto sería $f \subset A\times B$ o $f(A)\subset B$.

Y el dominio maximo (en los reales ) de $f(x)=\sqrt{x}$, es el intervalo $[0,+\infty)$, aunque se puede definir el dominio de otra manera, por ejemplo, yo puedo crear la función :

$f\ :\ [1,2] \longrightarrow \mathbb R ,$
$x \longrightarrow \sqrt{x}$

Lo que pasa es que cuando no se especifica el dominio, uno asume que es el dominio maximo en los reales, por convención.

y el codominio se puede cambiar también, como dice Pod.

[rruisan]

Re: Codominio e imagen

gracias por la orientación, entonces es correcto decir como un caso particular que el codomio puede abarcar todos los reales y la imagen solo aquellos donde la función sea continua. ¿Es correcto?

[javier m]

Re: Codominio e imagen

Pues, no necesariamente que sea continua.
La imagen es el conjunto de los elementos que tienen una preimagen, por ejemplo, la imagen de la función f(x)=cos(x) es el intervalo [-1,1] y el codominio puede ser cualquier conjunto que contenga al intervalo [-1,1], como por ejemplo: los reales,el intervalo [-2,5), etc