1r ciclo Volumen entre cilíndros

[leo_ro]

Calcular el volumen entre las superficies ${x}^{2}+{y}^{2}=1$ y ${y}^{2}+{z}^{2}=1$.

El problema que tengo es que no sé como plantear los límites de integración. Primeramente lo abordo como una integral triple con integrando igual a 1. Y como son cilindros entonces lo recomendable es usar coordenadas cilíndricas. Un límite de integración tiene que ser un intervalo, el siguiente estar en función del tercero y el primero tiene que estar en función de los otros dos. Se ve que $0\leqslant \theta \leqslant 2 \pi$

Las parametrizaciones de las superficies son: ${r}^{2}=1$ y ${r}^{2} {\sin}^{2} (\theta) + {z}^{2}=1$

Por lo que $z= \sqrt{1-{r}^{2} {\sin}^{2} (\theta)}= r\cos (\theta)$

Así que:

$V= {\int}_{0}^{2\pi} {\int}_{0}^{1} {\int}_{-r cos (\theta)}^{r cos (\theta)} r dz dr d\theta = 0$

Por lo que es incorrecto.

¿alguna ayuda?

Saludos.

[pod]

Re: Volumen entre cilíndros

Por lo que $z= \sqrt{1-{r}^{2} {\sin}^{2} (\theta)}= r\cos (\theta)$

No creo que la última igualdad sea cierta (sólo lo sería si r = 1, pero esto sólo se cumple en el límite del primer cilindro; por lo general no se cumplirá en los puntos del segundo).

Fíjate que la frontera de este cuerpo tiene cuatro componentes, separadas por los planos $z = \pm x$ (la intersección de ambos cilindros). Esta discontinuidad es la que te da problemas con las coordenadas cilíndricas al ir de 0 a $2\pi$.

Por lo tanto, tendrás que separar la integral en las cuatro regiones; imagínate el plano OXZ, ahí las intersecciones de los cilindros son las bisectrices de los cuadrantes . Como son iguales, basta con multiplicar por cuatro. Por ejemplo, yo elijo integrar el cuadrante que queda simétrico entorno al semieje $\mathrm{OX^+}$. La última integral que haremos será la de x, de 0 a 1.

En segundo lugar, hagamos la integral de z, que irá de -x a x.

Por último, si haces el dibujo, verás que en este cuadrante la coordenada y está limitada por el cilindro centrado en el eje OZ (el de ecuación $x^2 + y^2 = 1$). Así que su límite será $y = \pm \sqrt{1-x^2}$. Por lo tanto, las integrales serán

$$V = 4 \int_0^1 \dd x \int_{-x}^x \dd z \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \dd y = 4 \int_0^1 4 x \sqrt{1 - x^2} = -16 \frac13 (1-x^2)^{3/2}\Big|_0^1 = \frac{16}{3} .$$

[leo_ro]

Re: Volumen entre cilíndros

Gracias pod. Lo que no entiendo porque la variable $z$ va de $-x$ a $x$

[pod]

Re: Volumen entre cilíndros

Fíjate la intersección de ambos cilindros,

$$<br /> \left.<br /> \begin{aligned}<br /> x^2 + y^2 & = 1 \\<br /> y^2 + z^2 & = 1<br /> \end{aligned}<br /> \right\}$$

Si restas ambas ecuaciones, te da $z = \pm x$. Es decir, la intersección de ambos cilindros son dos circunferencias inscritas en los planos $z = x$ y $z=-x$ (precisamente, es en esas circunferencias separan las diferentes partes de la frontera, que es lo que nos hace que sea imposible parametrizar toda la frontera de una sola vez). Si lo miramos cenitalmente desde el eje OY (es decir, observamos el plano OXZ), los límites de cada segmento de la frontera se ven como las dos rectas $z = \pm x$. Como lo que estamos integrando primero es z (a parte de y, que no se ve desde este punto de vista), lo que estamos integrando son bandas paralelas al eje OZ que va entre ambos segmentos, es decir, desde -x hasta +x.

[leo_ro]

Re: Volumen entre cilíndros

Me podrían dar una ayuda de como encarar este tipo de problemas en donde tengo dos superficies y tengo que encontrar el volumen. Por ejemplo también estoy trabado con:

1)

Calcule $\int \int \int z dV$ sobre la región común a las esferas ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}\leqslant 1$ y ${x}^{2}+{y}^{2}+{(z-1)}^{2}\leqslant 1$

.

La verdad es que no sé por donde ver para encontar los limites de la integral. ¿Algún tipo de paso o algoritmo para tener en cuenta? o alguna ayudita.

Saludos.

[pod]

Re: Volumen entre cilíndros

Me podrían dar una ayuda de como encarar este tipo de problemas en donde tengo dos superficies y tengo que encontrar el volumen. Por ejemplo también estoy trabado con:

1) .

La verdad es que no sé por donde ver para encontar los limites de la integral. ¿Algún tipo de paso o algoritmo para tener en cuenta? o alguna ayudita.

Saludos.

Hombre, es difícil detallar un procedimiento general que siempre funcione, porque hay muchos casos particulares. Pero creo que lo primero que tienes que hacer es comprender bien cómo es el recinto de integración; y eso significa entender bien cómo es su frontera. En los casos que te dan la frontera mediante dos (o más) superficies con parametrización diferente, entonces lo primero a hacer es ver donde está la intersección de ambas superficies. Eso te ayudará a ver cuantas piezas tiene la frontera.

Después, tienes que mirar qué simetrías tiene la frontera de integración. Fíjate que en el caso de los dos cilindros no había ninguna simetría clara, ya que la simetría cilíndrica queda rota al tener dos cilindros en direcciones diferentes (quizá podríamos haber intentado usar una simetría cilíndrica en el tercer eje, pero no ganábamos mucho). En el problema de las dos esferas, como los centros son diferentes se rompe la simetría esférica; no obstante si te fijas bien sí que hay una simetría cilíndrica (revolución al rededor del eje OZ).

El paso siguiente sería ver el orden de integración. En este sentido, es importante que tengas claro el significado geométrico de la integral. Cuando integras una coordenada cartesiana (x, y o z), lo que estás haciendo es recorrer el volumen en linea recta, en paralelo con el eje correspondiente. Cuando integras un radio (cilíndrico o esférico), recurres el volumen siguiendo una dirección radial. Cuando integras un ángulo, pues estás recorriendola siguiendo una circunferencia. Es decir, la variable que integras recorre el volumen siguiendo un camino. La segunda variable que integras hace que este camino se desplace en su dirección, formando una superficie. La tercera variable que integras, análogamente, va "desplazando" esa superfície, de forma que se barra todo el volumen.

Aquí es vital haber entendido bien en el paso anterior cuántas "piezas" tiene la frontera de integración. Cada uno de estos caminos de integración empieza en una de estas piezas y termina en otra de ellas (que puede ser la misma). Lo importante, obviamente, es que juntando todos los caminos cubras todo el volumen (o, alternativamente, que sólo cubra una fracción del volumen y después puedas obtener el volumen total multiplicando por algún número, como hicimos en el ejemplo anterior multiplicando por cuatro). Fíjate que, en algunos casos, no todos los "caminos" necesarios para cubrir el volumen transcurren entre las dos mismas piezas de la frontera. En este caso, seria necesario separar la integral en dos para sumar el resultado.

Una vez ya tienes decidido el orden de integración, y por lo tanto sabes en qué superficie empieza y termina cada "camino" de integración, se trata de usar la parametrización de las superfícies para poner los límites en las integrales. Cada camino empieza en una superficie y termina en otra, esos son los límites superior e inferior.

Por ejemplo veamos el problema que pones ahora con las dos esferas. La frontera tiene dos piezas (correspondientes a partes de cada una de las esferas), que se juntan en una circunferencia que está inscrita en el plano z = 1/2 y tiene radio $\sqrt 3 / 2$ (esto sale de plantear un sistema de dos ecuaciones con las fórmulas que definen los límites de las esferas). Como decíamos antes, fíjate que todo esto tiene simetría de revolución al rededor del eje OZ, por lo que usar cilíndricas puede ser útil. Además, nada depende del ángulo azimutal, así que podemos integrarlo en el orden que queramos ya que no estorba para nada (a la práctica, yo prefiero pensar que lo integramos al final). Luego, toca decidir si integramos primero la z o el radio cilíndrico $\rho$.

Si integramos primero la z, recorremos el volumen haciendo barridos verticales. Cada camino de integración empieza en la pieza de abajo de la frontera (la esfera descentrada) y termina en la pieza de arriba (la esfera centrada). Después, integraríamos el radio, y al hacerlo la línea vertical que habíamos hecho con la integral en z se extendería radialmente, de forma que quedaría una superficie con forma similar a una especie de triangulo isosceles curvo, donde la base es el eje del volumen, y los lados iguales no son rectos sino que siguen la curvatura de las esferas. Después al integrar el ángulo azimutal, esa superficie rota al rededor del eje, recubriendo todo el volumen. Fíjate que de esta forma, haríamos toda la integral de una sola vez. Sería algo así

$$V = \int_0^{2\pi}\!\!\dd\theta \int_0^{\sqrt{3}/2}\!\! \dd\rho\ \rho \int_{1-\sqrt{1-\rho^2}}^{\sqrt{1-\rho^2}} \!\! \dd z .$$

Por otra parte, si integramos primero el radio, la primera integral nos lleva del eje de simetría a la frontera. Dependiendo del valor de z, nos llevará a una pieza u a otra de la frontera. Como los límites no siempre son los mismos, tendríamos que dividir la integral de z en dos partes: de 0 a 1/2 y de 1/2 a 1. Cada una de estas contribuciones tendría límites diferentes en la integral de $\rho$, ya que la mitad inferior termina en el cascarón esférico descentrado, mientras que la mitad superior termina en el centrado. Alternativamente, si nos damos cuenta que ambas mitades tienen el mismo volumen, podemos hacer sólo una de las integrales y multiplicar por dos. Sería algo así

$$V = 2 \int_0^{2\pi} \!\! \dd\theta \int_0^{1/2}\!\! \dd z \int_0^{\sqrt{1 - (z-1)^2}} \!\! \dd \rho\ \rho .$$

Ambas formas están bien (si no me he equivocado en nada) y deberían dar lo mismo, que es $5\pi/12$.

Por último, quizá te viene bien repasar el razonamiento del problema de los cilindros. Aquí la frontera tiene cuatro piezas (dos correspondientes a cada cilindro), y la intersección son circunferencias que están inmersas en los planos $z = \pm x$. Esto nos da como cuatro tajadas. Integramos sólo una de ellas y multiplicamos por cuatro. En concreto, yo elijo integrar al rededor de la tajada que está en la parte positiva del eje OX. Este "tajo" del volumen está delimitado por el cilindro $x^2 + y^2 = 1$ y los planos $z = \pm x$. Además, he elegido integrar primero la y, después la z y finalmente la x. Al integrar primero la y, lo que hacemos es ir de una parte del cilindro a la otra. Por lo tanto, ambos límites de integración de y salen de la ecuación del cilindro (uno con signo positivo en la raíz, otro con signo negativo). Después, al integrar la z, estamos pinchando el volumen de lado a lado, saliendo del plano $z=-x$ y llegando hasta $z=x$. Después, sólo queda integrar la Z hasta el final.

Obviamente, todo esto es más sencillo si te haces buenos dibujos de las regiones de integración. Por desgracia, yo no tengo tiempo para colgarte los diagramas, pero espero que no tengas mucho problema a reproducirlos.

[leo_ro]

Re: Volumen entre cilíndros

Excelente aporte pod, texto necesario para el examen final. Una última duda ¿tu recomiendas primero plantear los límites de integración en coordenadas rectangulares (porque así han dado las superficies) y luego parametrizarlos según la simetría?

[pod]

Re: Volumen entre cilíndros

Excelente aporte pod, texto necesario para el examen final. Una última duda ¿tu recomiendas primero plantear los límites de integración en coordenadas rectangulares (porque así han dado las superficies) y luego parametrizarlos según la simetría?

No hombre, los límites son fuertemente dependientes de las coordenadas que uses. Si los planteas en cartesianas y después haces un cambio, estás haciendo el trabajo dos veces. La idea es que decidas las coordenadas a usar según la simetría que quede en la frontera de integración (como hemos visto en los dos ejemplos, posiblemente queden menos simetrías en la intersección de las superficies de las que tenían ambas por separado) y eso normalmente te ayudará a construir caminos de integración más sencillos.