1r ciclo Problema con integral triple

[leo_ro]

Tengo que hallar el volumen del sólido limitado por las superficies ${(z-4)}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}$ y ${x}^{2}+{y}^{2}=4-z$

La solución al sistema de esas dos ecuaciones es:

$-{z}^{2}+7z=12$

Por lo que: ${z}_{1}=4$ , ${z}_{2}=3$

Haciendo un cambio a coordenadas polares las superficies quedan:

${(z-5)}^{2}={r}^{2}$

$z+{r}^{2}=4$

$\dst {\int}_{3}^{4} {\int}_{0}^{2\pi} {\int}_{\sqrt{4-z}}^{0} r dr d\theta dz$

$\dst \frac{1}{2 } {\int}_{3}^{4} {\int}_{0}^{2\pi} 4-z d\theta dz$

$\dst \pi {\int}_{3}^{4} 4-z dz = \frac{\pi }{2 }$

Ahora bien la solución del problema que me da el libro es $\frac{\pi}{6 }$

¿En qué le estoy errando?

Saludos.

[javier m]

Re: Problema con integral triple

Hola,

El error está en los limites de $r$,

Si haces la imagen mental lo que tienes es un un volumen cuya superficie interna está limitada por un cono que se abre hacia abajo, y la externa por una parabola que se abre hacia abajo.

De modo que $r$ va de $4-z$ a $\sqrt{4-z}$

[pod]

Re: Problema con integral triple

En los límites de integración de r sólo has puesto una de las superficies. Estás integrando desde el eje de simetría hasta una de las superficies. Tienes que integrar sólo entre ambas superficies.

Fíjate que puedes reescribir estas superficies tal que así:

$$r = \pm(z - 4) , \qquad r = \sqrt{4-z} .$$

En la primera, como estamos en z menores a 4, nos tenemos que quedar con el signo negativo (r tiene que ser positivo). Por lo tanto

$$r = 4-z, \qquad r = \sqrt(4-z) .$$

Lo primero es un cono (radio lineal). Lo segundo es un paraboloide de revolución, algo similar a una bóveda. El cono queda dentro del paraboloide (en $3 \le z \le 4$; para $z < 3$ está por fuera). Así que las integrales irán del cono al paraboloide.

Por cierto, hay que tener cierto cuidado con la notación en las integrales. Los diferenciales van multiplicando, así que si dentro de las integrales hay diversos términos tienes que usar paréntesis. Por ejemplo (esta integral no aparece en el problema),

$$\int_3^4 \Big( 4 - z \Big) \dd z .$$