1r ciclo Series

[neometalero]

Saludos foreros y aficionados a la ciencia en general. Hace mucho que no entro y requiero de vuestros conocimientos. Estoy tratando de ayudar a un amigo que estudia 2º de Bachiller en el Liceo Francés, y en sus contenidos están las series. Tiene algunos ejercicios pero no ha hecho nada en clase así y en su libro (para variar) tampoco hay nada resuelto parecido. Si a eso le unimos que yo ando totalmente oxidado...pues aquí estoy jeje.
Ahí va el asunto (es muy largo):
El objeto de este ejercicio es el estudio de la serie ${u}_{ n}$ definida de forma que ${u}_{ 1}=\frac{3}{2 }$ y la relación de recurrencia es

$${u}_{n+1 }=\frac{n{u}_{ n}+1}{2(n+1) }$$

.
Para calcular el término ${u}_{ 9}$de la serie, un alumno propone el algoritmo siguiente:
Variables: n es un entero natural y u es un número real
Inicio: Asigna a n el valor 1 y a u el valor 3/2
Tratamiento: Mientras n<9
Asigna a n el valor...
Asigna a u el valor...
Representa el valor de u

a) Rellena las dos líneas de código. (Debe ser fácil pero no capto el algoritmo realmente y no he sabido qué poner ahí)
b) Cómo habría que modificar el algoritmo para que calculase todos los términos desde ${u}_{2 }$ hasta ${u}_{9 }$? (Si no he hecho el primero por no entender realmente dicho algoritmo, éste tampoco)
c) Una vez tenemos el algoritmo modificado y habiendo obtenido los resultados numéricos siguientes redondeados a la milésima, conjetura acerca del sentido de variacion y la convergencia de la serie. (Aquí dan una tabla y esto creo que es sencillo, imagino que el sentido de variación se referirá a creciente o decreciente).
d) Definamos la serie auxiliar ${v}_{n }$ para todo entero $n\geqslant1$ como sigue:

$${v}_{ n}=n{u}_{n }-1$$

Demuestra que la serie ${v}_{n }$ es geométrica; da su razón y su primer término. (Se cuál es la forma de la serie geométrica pero , en primer lugar, cómo saco ${u}_{ n}$? De dónde??).
e) Deduce que, para todo número entero natural $n\geqslant1$, se cumple que ${u}_{n }=\frac{1+{0.5}^{n }}{ n}$. (Si no se que forma tiene ${u}_{n }$, obviamente no puedo ni intentar este).
f) Halla el límite de la serie anterior.
g) Justifica que, para todo entero $n\geqslant1$, se tiene que ${u}_{ n+1}-{u}_{ n}=-\frac{1+(1+0.5n){0.5}^{ n}}{n(n+1) }$ y deduce el sentido de variación de la serie ${u}_{n }$.

Un ejercicio muy completo que no puedo ni intentar en su mayoría si no se hacer alguna parte que va antes y en la cual no se por dónde empezar. Alguna sugerencia o pista? Gracias!!!

[Breogan]

Re: Series

Hola:

Poco me acuerdo de este tema en particular, pero espero que se me escape alguna idea que errada o no pueda ayudarte a encarar la solución del problema.

El objeto de este ejercicio es el estudio de la serie ${u}_{ n}$ definida de forma que ${u}_{ 1}=\frac{3}{2 }$ y la relación de recurrencia es

$${u}_{n+1 }=\frac{n{u}_{ n}+1}{2(n+1) }$$

.
Para calcular el término ${u}_{ 9}$de la serie, un alumno propone el algoritmo siguiente:
Variables: n es un entero natural y u es un número real
Inicio: Asigna a n el valor 1 y a u el valor 3/2
Tratamiento: Mientras n<9
Asigna a n el valor...
Asigna a u el valor...
Representa el valor de u

a) Rellena las dos líneas de código. (Debe ser fácil pero no capto el algoritmo realmente y no he sabido qué poner ahí)

Mas allá de que lo ultimo que me acuerdo haber visto de esto fue Fortran IV, y con tarjetas perforadas !!!! , y que no se de que lenguaje de programación se trata, creo que la idea es empezar con una declaración donde se declare cada tipo de variable (n, y u), y se asignen los valores iniciales a estas (n=1 y u=3/2).
Continuas con una clausula if, donde pones como condición que n<9, sino se cumple se sale del if; dentro del if se pone el incremento de n (es decir n=n+1), luego de este se calcula u como $\dst u = \frac {n \ u\ +\ 1}{2 \ (n+1)}$, de esta forma después de la 1º vuelta te quedan almacenados en n el valor 2 y en u el valor de u2.
Después de ocho vueltas tendrás que n vale 9, y en u tenes almacenado el valor de u9 (que es el que te piden), dado que n=9 se sale del if y se hace una linea para presentar los resultados.

Espero que si no es correcto, igual te pueda ayudar en algo.

b) Cómo habría que modificar el algoritmo para que calculase todos los términos desde ${u}_{2 }$ hasta ${u}_{9 }$? (Si no he hecho el primero por no entender realmente dicho algoritmo, éste tampoco)

Acá me parece que tenes que reemplazar la variable u por un vector u(n) manteniendo la estructura del if y modificando la formula de recurrencia para operar coherentemente con los elementos del vector.

c) Una vez tenemos el algoritmo modificado y habiendo obtenido los resultados numéricos siguientes redondeados a la milésima, conjetura acerca del sentido de variacion y la convergencia de la serie. (Aquí dan una tabla y esto creo que es sencillo, imagino que el sentido de variación se referirá a creciente o decreciente).

En el análisis de la serie tenes que decir si es una serie de términos positivos, negativos, o alternados, si la serie de los módulos de los términos es creciente o decreciente, y si los módulos de los términos de la serie tienden a un valor cuando n tiende a infinito.

En este caso creo que es una serie de términos positivos decrecientes, y que el termino generico tiende a cero cuando n tiende a infinito.

$Para \quad \dst n \gg 1 \quad \Rightarrow \quad u_{n+1} =\frac {u_n} 2$

Para la convergencia usa alguno de los criterios de análisis clasico, Cauchy o el de la raiz son los que me acuerdo (de nombre !!!)

d) Definamos la serie auxiliar ${v}_{n }$ para todo entero $n\geqslant1$ como sigue:

$${v}_{ n}=n{u}_{n }-1$$

Demuestra que la serie ${v}_{n }$ es geométrica; da su razón y su primer término. (Se cuál es la forma de la serie geométrica pero , en primer lugar, cómo saco ${u}_{ n}$? De dónde??).

No hace falta encontrar el termino u_n, la serie auxiliar que te dan también la podes expresar como:

$\dst v_{n+1} = (n+1) u_{n+1} -1$

y como $\dst {u}_{n+1 }=\frac{n{u}_{ n}+1}{2(n+1) } \quad \forall n = 1,2,3,...$ y $u_1=3/2$

te queda que:

$\dst v_{n+1} = (n+1) \frac{n{u}_{ n}+1}{2(n+1) } -1$ y $v_1 = 1 \ u_1 - 1$

$\dst v_{n+1} = \frac{n{u}_{ n}+1}{2 } -1 = \frac{n{u}_{ n}-1}{2 }$ y $v_1 = 1 \ 3/2 - 1$

Resumiendo lo ultimo:

$\dst v_{n+1} = \frac{n{u}_{ n}-1}{2 } \quad \forall n = 1,2,3,...$ y $v_1=1/2$

y sabemos que $\dst u_n = \frac {v_n+1}n$ por lo cual:

$\dst v_{n+1} = \frac{n \dst \frac {v_n+1}n-1}{2 } \quad \forall n = 1,2,3,...$ y $v_1=1/2$

$\dst v_{n+1} = \frac{v_n}{2 } \quad \forall n = 0,1,2,3,...$ y $v_0=1$

la cual la podemos escribir como:

$\dst v_n = (\frac 1 2)^n \quad \forall \ n=0,1,2,....$

Bueno hasta aca llego por hoy, acordate al leerlo que poco se del tema asi que toma con cuidado lo por mi afirmado.

s.e.u.o.

Suerte

[neometalero]

Re: Series

Gracias por la ayuda pero el algoritmo dice que sólo calcula de inicio el valor de u9 y por lo que tu dices, me sacaria todos los valores hasta que n fuese igual a 9, en cuyo caso sale del if. Eso sería mas bien el segundo apartado donde dice como lo modificarias para que te aparezcan todos los resultados desde 2 hasta 9 no?

- - - Actualizado - - -

No se porque en el último apartado que haces el término ${v}_{ 0}$ te da 1 y no -1 y tampoco se como pasas al último paso, donde de repente aparece algo elevado a n, cuando antes no había nada elevado.

[Breogan]

Re: Series

Hola:

Gracias por la ayuda pero el algoritmo dice que sólo calcula de inicio el valor de u9 y por lo que tu dices, me sacaria todos los valores hasta que n fuese igual a 9, en cuyo caso sale del if. Eso sería mas bien el segundo apartado donde dice como lo modificarias para que te aparezcan todos los resultados desde 2 hasta 9 no?

En realidad para hallar u9 primero tenes que hallar los términos de menor orden a través de la formula de recurrencia, creo que en la mayoría de los casos es así. Una alternativa seria 1º hallar a mano la formula del termino u9 en función de las expresiones de todos los términos de menor orden, de forma de llegar a una expresión solo en función de u1 y n, pero sinceramente no creo que sea esto lo que estén pidiendo.
Con la estructura de programa que te propuse para el 1º item nunca tenes acceso a los términos con n<9, cada uno de ellos es sobreescrito en el siguiente paso hasta llegar al resultado final u9; por esto en el siguiente punto mi propuesta fue reemplazar la variable u por un vector, de forma que el resultado del programa es un vector que en cada posición contiene un elemento de la serie, y de esa forma están todos disponibles al finalizar el programa.

No se porque en el último apartado que haces el término ${v}_{ 0}$ te da 1 y no -1 y tampoco se como pasas al último paso, donde de repente aparece algo elevado a n, cuando antes no había nada elevado.No se porque en el último apartado que haces el término ${v}_{ 0}$ te da 1 y no -1 y tampoco se como pasas al último paso, donde de repente aparece algo elevado a n, cuando antes no había nada elevado.

Partiendo de la siguiente, que creo parece estar bien:

$\dst v_{n+1} = \frac{n \dst \frac {v_n+1}n-1}{2 } \quad \forall n = 1,2,3,...$ y $v_1=1/2$

llegamos por simplificación a:

$\dst v_{n+1} = \frac {v_n}{2 } \quad \forall n = 1,2,3,...$ y $v_1=1/2$

la formula de recurrencia que encontramos nos da los términos a partir de v2, si queremos que incluya a v1 tenemos que definir un valor del termino anterior a este (v0) y el resultado de la FR modificada nos debe dar el valor de v1 correcto, y esto se logra haciendo v0=1 y queda:

$\dst v_{n+1} = \frac {v_n}{2 } \quad \forall n = 0,1,2,3,...$ y $v_0=1$

lo podes comprobar fácilmente escribiendo los primeros términos de ambas FRs, y vas a ver que son iguales (creo!!), así que representan la misma serie. Si haces v0=-1 podes comprobar que ambas series ya no son iguales.

En cuanto al ultimo paso donde aparece un exponente, sale también del desarrollo de la serie, al escribir los primeros términos de está enseguida te vas a dar cuenta que cada termino es una potencia de 1/2.

Nota: la formula de recurrencia de una determinada serie no tiene por que ser única.

Disculpa mi poco poder de síntesis, pero como se poco del tema escribir me ayuda a razonar sobre el tema. Gracias.

Suerte

[neometalero]

Re: Series

Vale, ya veo eso que dices. Como harías los dos últimos apartados? No he logrado llegar al último, tengo algo parecido pero no exacto.

- - - Actualizado - - -

Me voy a lanzar hasta donde yo he llegado en el último apartado y voy a poner todo el desarrollo, seguramente cometiendo varios errores, ahí va:
${u}_{n+1 }-{u}_{ n}= -\frac{1+(1+0.5n){(0.5)}^{n }}{n(n+1)}$.
Tenemos la forma de ${u}_{n+1 }$ definida al inicio y sabemos por los apartados anteriores que ${u}_{ n}=\frac{{v}_{n }+1}{n }=\frac{{(0.5)}^{ n}+1}{n}$. Luego substituyendo esto en la expresión anterior nos queda:

$${u}_{n+1 }-{u}_{ n}= \frac{\frac{n[{(0.5)}^{n }+1}{n }+1}{ 2(n+1)}-\frac{1+{(0.5)}^{ n}}{ n}$$

Eliminando las n y simplificando un poco queda:

$$\frac{{(0.5)}^{n }+2}{ 2(n+1)}-\frac{1+{(0.5)}^{ n}}{ n}$$

Viendo el resultado final, el 2 del denominador no debe aparecer, imagino que debo sacar factor común en el numerador de la primera fracción, pero no se si lo hago bien, aquí un posible primer fallo.

$$\frac{{(0.5)}^{ n+1}+1}{ n+1}-\frac{1+{(0.5)}^{ n}}{n }$$

Operando las fracciones, queda:

$$\frac{n[{(0.5)}^{n+1 }+1]-[1+{(0.5)}^{n }](n+1)}{ n(n+1)}$$

Ahora vendría otro posible fallo, al multiplicar esa n por el 1/2 elevado a n, no recuerdo como se hace.

$$\frac{{(0.5)}^{n+1 }n+n-n-1-{(0.5)}^{ n}-{(0.5)}^{n }n}{ n(n+1)}$$

Simplificando un poco y sacando factor común ¿? ...

$$\frac{[{(0.5)}^{ n}n](n-1)-1-{(0.5)}^{ n}}{n(n+1) }$$

Que no se si es lo que se pedía (habría que reordenar) o me he equivocado en algún paso.
Ayudita please

[Breogan]

Re: Series

Hola:

g) Justifica que, para todo entero $n\geqslant1$, se tiene que ${u}_{ n+1}-{u}_{ n}=-\frac{1+(1+0.5n){0.5}^{ n}}{n(n+1) }$ y deduce el sentido de variación de la serie ${u}_{n }$.

Me voy a lanzar hasta donde yo he llegado en el último apartado y voy a poner todo el desarrollo, seguramente cometiendo varios errores, ahí va:

$\dst {u}_{n+1 }-{u}_{ n}= -\frac{1+(1+0.5n){(0.5)}^{n }}{n(n+1)}$.
Tenemos la forma de ${u}_{n+1 }$ definida al inicio y sabemos por los apartados anteriores que $\dst {u}_{ n}=\frac{{v}_{n }+1}{n }=\frac{{(0.5)}^{ n}+1}{n}$. Luego substituyendo esto en la expresión anterior nos queda:

$${u}_{n+1 }-{u}_{ n}= \frac{\dst \frac{n[{(0.5)}^{n }+1}{n }+1}{ 2(n+1)}-\frac{1+{(0.5)}^{ n}}{ n}$$

Eliminando las n y simplificando un poco queda:

$$\frac{{(0.5)}^{n }+2}{ 2(n+1)}-\frac{1+{(0.5)}^{ n}}{ n}$$

Hasta acá parece estar bien, solo encuentro un error en la ecuación (1) , falta cerrar un corchete, pero no le hace al problema.

Viendo el resultado final, el 2 del denominador no debe aparecer, imagino que debo sacar factor común en el numerador de la primera fracción, pero no se si lo hago bien, aquí un posible primer fallo.

$$\frac{{(0.5)}^{ n+1}+1}{ n+1}-\frac{1+{(0.5)}^{ n}}{n }$$

Esta bien ya que te queda: $\dst \frac 1 2 \left( 0,5 \right) ^n = \frac 1 2 \left( \frac 1 2 \right) ^n = \left( \frac 1 2 \right) ^{n+1} = \left( 0,5 \right) ^{n+1}$

Operando las fracciones, queda:

$$\frac{n[{(0.5)}^{n+1 }+1]-[1+{(0.5)}^{n }](n+1)}{ n(n+1)}$$

Ahora vendría otro posible fallo, al multiplicar esa n por el 1/2 elevado a n, no recuerdo como se hace.

$$\frac{{(0.5)}^{n+1 }n+n-n-1-{(0.5)}^{ n}-{(0.5)}^{n }n}{ n(n+1)}$$

Parece estar bien echa la distributiva, o ya no veo nada.

Simplificando un poco y sacando factor común ¿? ...

$$\frac{[{(0.5)}^{ n}n](n-1)-1-{(0.5)}^{ n}}{n(n+1) }$$

Que no se si es lo que se pedía (habría que reordenar) o me he equivocado en algún paso.
Ayudita please

Aca me perdi, y si me permitis voy a desarrollar a partir de la ec. (5):

$\dst \frac{{(0.5)}^{n+1 }n+n-n-1-{(0.5)}^{ n}-{(0.5)}^{n }n}{ n(n+1)}$

$\dst \frac{{(0.5)}^{n+1 }n-1-{(0.5)}^{ n}-{(0.5)}^{n }n}{ n(n+1)}$

$\dst \frac{-1 + {(0.5)}^{n+1 }n-(1+n){(0.5)}^{ n}}{ n(n+1)}$

$\dst \frac{-1 + [{(0.5)}n-(1+n)] \ {(0.5)}^{ n}}{ n(n+1)}$

$\dst \frac{-1 - [1 + {(0.5)}n] \ {(0.5)}^{ n}}{ n(n+1)}$

$\dst -\frac{1 + [1 + {(0.5)}n] \ {(0.5)}^{ n}}{ n(n+1)}$

Así se llega al resultado propuesto.

s.e.u.o.

Suerte

[neometalero]

Re: Series

El último apartado me pide que, volviendo al algoritmo inicial, construya uno que me de el valor de n para el que la serie vale menos que 0.001. En Excel me sale n=1001 pero no se qué código he de poner porque la verdad es que tengo totalmente olvidado el lenguaje de programación.

[Breogan]

Re: Series

Hola:

Supongo que cuando decís:

el valor de n para el que la serie vale menos que 0.001

estas diciendo que el termino n de la serie (o de la sucesión) sea menor que 0,001

En realidad se me ocurre que el algoritmo es similar al que propuse en su oportunidad, donde en el if que toma la decisión de terminar, en ves de comparar los valores de n se compararan los valores de u con 0,001; de forma que cuando u pasa a ser menor que dicho valor se sale del bucle y en la variable n tenemos el valor que buscamos.

Suerte