integrar sobre un cono

[jo0000se]

Me plantean el siguiente problema: calcula la integral de superfície F(x,y,z) = (0, 0, z²), la superfície sobre la cual se debe integrar es (z-1)² = x² + y², 0 <= z <= 1 cerrada con el plano z = 0, orientado hacia el exterior...

en fin, parametrizo el cono como (r cos (a), r sen(a), 1-r). Saco los vectores tangentes respecto a alfa y a r obteniendo (r cos(a), r sin(a), r).
Una vez hecho esto para calcular la integral famosa, compongo F con la parametrización en cuestión, lo multiplico escalarmente por el vector normal a la superfície y integro r de 0 a 1 y a de 0 a 2Pi... me da Pi/2!!!!!! Cuando en teoría debería dar Pi/6....... Alguien sabe qué hago mal o por qué demonios no me aparece ese 1/3????


Gracias!!!!

[jo0000se]

Re: integrar sobre un cono

Solucionado, era un error mío al ir trabajando sobre el problema... había un (1-z)^2 y sin darme cuenta lo convertí en un (1-z^2), al integrar no me aparecía el 3 famoso. En fin, disculpad las molestias!!!

A los administradores, perdonad... pensé que al ser un problema sobre flujo de un supuesto campo eléctrico sobre un cono no habría problema en colocarlo en el foro de física.

[[Beto]]

Re: integrar sobre un cono

A los administradores, perdonad... pensé que al ser un problema sobre flujo de un supuesto campo eléctrico sobre un cono no habría problema en colocarlo en el foro de física.

Bueno entonces ¿podrías escribir la solución completa?

[jo0000se]

Re: integrar sobre un cono

Lo suyo es conseguir pasar de una integral de una función sobre una superfície de R3 a una en R2, para ello buscamos el vector normal a la superficie en cada punto y lo normalizamos, para encontrar mediante esto y un eje perpendicular al plano de R2 sobre el que queremos integrar. Eso es bastante feo de hacer y (ni idea de la demostración) pero es equivalente a buscar el vector normal a la parametrización y multiplicar este escalarmente por la función sobre la que trabajamos.

Todo se hace tal como he explicado en el primer post y usando la param. (rcos(a), rsin(a), 1-r), queda una integral así

int ( int ( (0, 0, (1-z)^2).(rcos(a), rsin(a), r) dr da))

a partir de aquí es una integral de un polinomio... pim, pam! (integras para z desde 0 hasta 'a' y el ángulo que permita recorrer todo el cono (0 - 2Pi). El resultado es Pi/6

[jo0000se]

Re: integrar sobre un cono

Ahora estoy muy liado estudiando, luego lo hago con calma, escaneo la solución y la cuelgo ;D

[pod]

Re: integrar sobre un cono

¿Y porqué no utilizas el teorema de Gauss? Así puedes pasar de dos integrales de superficie a una única integral de volumen (que además será sencillita por que la divergencia de esa función es muy simple).

[jo0000se]

Re: integrar sobre un cono

Porque acabo de enterarme de que existe el teorema de Gauss . Ahora mismo lo pruebo, a ver qué tal sale la cosa.

Gracias!!!

[jo0000se]

Re: integrar sobre un cono

Nada, tu, que soy un negado... he probado y ni de broma.

Veamos, div F = 2z.

dV = dx dy dz

cambio variables a g(Rcos(a), Rsin(a), 1-r). r (0..1), R(0..1), a (0..2Pi).

!!g!! = -R

Al plantear int((div F)(g) . (-R) dr dR da), r (vertical) y el angulo a son ctes.

r^2/2*2Pi * int(2z(g) dr) = r^2/2*2Pi * int(2-2r dr) = .... = Pi

[jo0000se]

Re: integrar sobre un cono

error mio de nuevo. Creo que la parametrizacion que he dado es la de un cilindro, no la del cono que pretendía. Al integrar r depende de R... ahora lo probaré de nuevo, pero creo que sí que sale

[pod]

Re: integrar sobre un cono

Nada, tu, que soy un negado... he probado y ni de broma.

Veamos, div F = 2z.

dV = dx dy dz

cambio variables a g(Rcos(a), Rsin(a), 1-r). r (0..1), R(0..1), a (0..2Pi).

!!g!! = -R

Al plantear int((div F)(g) . (-R) dr dR da), r (vertical) y el angulo a son ctes.

r^2/2*2Pi * int(2z(g) dr) = r^2/2*2Pi * int(2-2r dr) = .... = Pi

Utiliza cilíndricas:

$$\begin{aligned}<br /> x & = r \cos\theta\ , \\<br /> y & = r \sin\theta\ , \\<br /> z & = z \ .<br /> \end{aligned}$$

El cono que pretendes hacer es $r = z-1$, con los límites apropiados en z. El elemento de volumen, supongo que sabes calcularlo, es $\dd V = r \dd r \dd\theta \dd z$

Es un buen ejercicio académico hacer el cálculo de las dos formas: con Gauss o sin. Así se practica, y de paso al ver que sale uno se cree más los teoremas (que las demostraciones están bien, pero siempre viene bien verlo).

[jo0000se]

Re: integrar sobre un cono

Gracias, tu! Al final me había dado cuenta, la primera vez que lo he hecho no he caído en que había una relación entre z y el radio... perdonad las molestias!