1r ciclo Raiz n-ésima (complejos)

[Turing]

Muy buenas!

Estoy practicando un poco con los números complejos (ya que casi no lo he hecho en bachillerato) y he llegado a un problema el cual me pide que determine y represente gráficamente $\dst z^3=-123$. El problema reside en que no se calcular su argumento. Supongo que es un numero con parte imaginaria 0 (?) y realizo la arco-tangente para 0? Porque mediante el coseno no puedo calcular nada (es un número mayor que 1)... ¿O considero que es $\dst 125 i^2$? La verdad es que no sé por donde empezar.

El proceso que viene después con sus 3 soluciones sabría efectuarlo.

Gracias por la ayuda y a ver si veo la luz.

[angel relativamente]

Re: Raiz n-ésima (complejos)

¿Hablas de calcular el argumento de $z^3$? Gráficamente es bastante obvio. Solemos representar $\mathbb{C}$ con $\mathbb{R}^2$ (ya que son espacios isomorfos) y asignamos el eje x a los reales y el eje y a los imaginarios puros. Por tanto como $z^3$ es real está sobre el eje x, y por ser negativo en concreto su argumento será $\pi$.

Un saludo,

[davinci]

Re: Raiz n-ésima (complejos)

Hola Turing

Yo creo que $\dst\sqrt[3]{-123}=a$ de la expresión $\dst z=a+bi$, donde la parte imaginaria es nula y la real menor que cero. Tendrías entonces que $\dst arctan(0/\sqrt[3]{-123})+\pi$, quedándote un ángulo de 180 grados, y el punto en el eje real negativo.

[Turing]

Re: Raiz n-ésima (complejos)

Bien, a ver si lo he entendido, como no tiene parte imaginaria siempre cae en la recta de los reales y como es negativo se le asigna $\pi$. ¿Si fuese positivo se le asignaría $-\pi$? Además, ¿cualquier complejo sin parte imaginaria tan solo puede tener argumentos $\pi + 2k\pi$?. Por ejemplo: $z^3=1-i$, su argumento principal sería $\frac{3\pi}{4}$, ya que se mueve en otro eje gracias a contener parte imaginaria, no?

[davinci]

Re: Raiz n-ésima (complejos)

Si la parte real fuese positiva sería: $\dst arctan(b/a)$ siendo ``a´´ la parte real y ``b´´ la imaginaria. Sería $\dst arctan(b/a) -\pi$ si ambas fuesen negativas.

[Turing]

Re: Raiz n-ésima (complejos)

Bien, gracias a los dos

[carroza]

Re: Raiz n-ésima (complejos)

Hola. La ecuación $z^3 = -123$ tiene tres soluciones. La forma más facil de verlas es considerar que $- 123$ es un número con módulo $123$ y argumento $\pi$. Por tanto, las soluciones para z son:

1) un número con módulo $123^{1/3}$ y argumento $\pi/3$.

2) un número con módulo $123^{1/3}$ y argumento $\pi/3+ 2\pi/3$ (este es real y negativo).

3) un número con módulo $123^{1/3}$ y argumento $\pi/3 + 4\pi/3$.


Si representáis estas tres soluciones en el plano complejo, las encontraréis en los vértices de un triángulo equilátero. De la misma forma, las soluciones de $z^n = a$ son n números complejos que definen un polígono regular de n lados.


Saludos