1r ciclo ¿Ayuda con estas preguntas sobre plano tangente?

[venedan]

bueno esa es mi pregunta tengo un ejercicio que por mas que he buscado no le encuentro solucion y dice así:

1) determinar los puntos de la superficie dada en que el plano tangente es paralelo a los planos coordenados
(x-2)^2 + 5(y-3)^2 + 10(z+1)^2 = 12

y

2) hallar la ecuacion del plano tangente a la superficie z= x^2 + y^2 - 4x que sea perpendicular a los planos x+y-z=3 y 2x-y+z =4

es sobre derivadas parciales planos tangentes pero he tratado de hacerlo pero no se como en el segundo ejercicio trate los dos planos como los puntos (1,1,-1) * (2,1,1) = (2,1,-1) luego saque las derivada parciales a la función y la evalué en el punto (2,1,-1) pero después no supe que hacer les agradecería su ayuda orientación e indicaciones se lo agradecería

[pod]

Re: ¿Ayuda con estas preguntas sobre plano tangente?

Recuerda que puedes definir un plano mediante un vector perpendicular. Por lo tanto, lo único que tienes que encontrar es un vector perpendicular a la superficie. Y eso se puede hacer con un producto vectorial:

Si describes la superficie mediante un vector $\vec r = \Big(x,y,z(x,y)\Big)$, donde las coordenadas cumplen la condición dada (básicamente, aisla una de las coordenadas y usa las otras dos como parámetros), entonces el siguiente es un vector perpendicular a la superfície

$$\frac{\partial \vec r}{\partial x} \times \frac{\partial \vec r}{\partial y}\ .$$

No es la forma más general de hacerlo, pero sirve. La forma más general sería elegir cualquier par de parámetros y derivar respecto de ellos.

[escarabajo]

Re: ¿Ayuda con estas preguntas sobre plano tangente?

Hola..

Ufff, este foro tiene lugares secretos. Desconocía esta sección, me gusta la matemática tanto como la física, pero actualmente me va mejor en "mates".

Por si interesa, algo tarde, pero mejor que nunca al fin.

La primer superficie parece una elipse, de centro (2,3,-1).

Con un primer cambio de variables $u=x-2,v=y-3,w=z+1$ la ecuación se transforma en:

$u^2+5v^2+w^2=12$, si se divide entre 12

$\displaystyle \left(\frac{u}{\sqrt{12}}\right)^2+\left(\frac{v}{\sqrt{12/5}}\right)^2+w^2=1$

Ahora esto puede parametrizarse con cosenos y senos. Si llamamos $\theta$ al angulo que forma el vector radio que une el origen con cualquier punto del espacio, con el eje z; y $\phi$ al ángulo que forma la proyección del vector radio sobre el plano xy con el eje x, entonces:

$r(t)=(\sqrt{12}\sin \theta \cos \phi,\sqrt{12/5}\sin \theta,\sin \phi,\cos \theta)$

Es una parametrización de la superficie dada, si es que no metí la pata en nada.

Creo que la ventaja es que derivar es mucho más sencillo, porque son senos y cosenos, nada a que temerle a estas funcioncitas....

El segundo, puede "deformarse" la ecuación de esta manera:

$(x-2)^2+y^2=4+z$

Lo cual me da la sensación que es la superficie de un cono si no me equivoco, cortando con planoz z=cte, se tendría un cilindro, naturalmente al variar z se va achicando el radio del cilindro. Se puede parametrizar de forma similar.

Saludos.