Solución ecuación

[Jose D. Escobedo]

Re: Solución ecuación

Hola,

Siguiendo la idea de abuelillo (porque no creo en el continuo de los reales)

La ecuación $x-\sin x-5=0$ puede ser escrita y calculada con la ayuda de punto fijo, es decir:
$x= \sin x +5$ y la solución puede ser tomada con aproximaciones

$x_1=\sin 4 +5$

$x_2=\sin x_1 +5$

$x_3=\sin x_2 +5$
.......................................
.......................................

Hasta $x_n=\sin x_{n-1}+5$ de donde puedo inferir que 4.1526214351...=$\dst\lim_{n \to \infty} x_n$ y nombremos este número "$\phi_\lambda$"
disculpen por el sarcasmo, pero esta es realmente una aproximación tal como lo son $\dst\frac{3\pi}{ 2}$, $\sin 4$ y $\sin 5$ que son números que se pudieran usar como ayuda para calcular "cotas aproximadas". Es mas hay un número infinito (es decir muy grande) de números en $x$ que hacen esta función $f(x)=x-sin x -5$ un número aproximado.

Nota: Creo que se puede empezar con cualquier$x \in$ de los "reales" (los reales que no estoy seguro de su existencia) usando "fixed point" porque la función $x=\sin x +5$ es contraída.

Saludos
Jose.

[oscarmuinhos]

Re: Solución ecuación

Y podría razonarse también gráficamente?
Pensando en la solución que propone AI2000....
La función y=x-sen(x)-5 está claro que se trata de una oscilación de los puntos de la recta y=x-5 limitada en cada punto entre las rectas y=x-6 e y=x-4 como escribe AI2000. Y siendo aquella función continua y cuyo dominio es todo R tendrá por fuerza que cortar al eje x como lo cortan las rectas y=x-6 e y =x-4. Demos ahora un salto al principio para encontrar otro razonamiento similar (o puede que idéntico): se trata de saber si la ecuación x-sen(x)-5 = 0 (1). De aquí resulta que x-5=sen(x). [Un paréntesis aquí para ver que la solución de la ecuación ha de cumplir, pues, que
-1 <= x -5 <= 1 ó 4 <= x <= 6 ]
Para que la ecuación (1) tenga solución tendrá la recta y=x-5 que cortar a la curva y=sen(x). Y, por supuesto, no tienen más remedio que cortarse: las dos son continuas y sus dominios son todo R. Pero el conjunto imagen de la recta se extiende a todo R mientras que y = sen(x) está acotada entre -1 y 1.

Vale razonarlo así?

y otra pregunta en torno al razonamiento de Angel relativamente....

Puesto que se sabe que la solución está acotada entre 4 y 6, puede servir un desarrollo de sen (x) en serie de Taylor en torno a un punto del intervalo (4,6)??