Secundaria Integral Sencilla

[neometalero]

Saludos foreros, estoy repasando integrales (las tengo totalmente olvidadas) pero el problema es que no sé reconocer el tipo y por tanto no sé qué método aplicar. A ver si alguno me puede dar una pista de algunas de estas:
$\int\frac{xarctg(x)}{({1+{x}^{ 2}})^{2 } }$

$\int\frac{x+\sqrt{x}}{x-1 }$

$\int\frac{{x}^{ 2}}{\sqrt{{x}^{ 2}-1} }$

$\int\sqrt{2x-{x}^{2 }}$

$\int\frac{{x}^{2 }+1}{ {x}^{2 }-1}$

$\int\frac{{x}^{3 }}{{x}^{8 } -2}$

$\int\frac{log(x)}{\sqrt{x} }$

Solo pido si alguien me puede decir de qué tipo son, nada más. Gracias!!

[oscarmuinhos]

Re: Integral Sencilla

Pones tantas que da miedo ponerse con ellas.... voy intentar alguna idea con las más fáciles

$\displaystyle \int\frac{{x}^{2 }+1}{ {x}^{2 }-1}$

Es un cociente de polinomios. Se divide (o directamente sin dividir: poniendo x² + 1 = (x²-1) +2 ) y luego se descompone el denominador de la queda en factores y se descompone en una suma de fracciones;

$\displaystyle \int\sqrt{2x-{x}^{2 }}$

Por cambio de variable: 2x -x^₂ = x(2 -x) =(2 - x)².z^2.. Este cambio de variable debe de convertirla en una integral sin radicales creo que fácil de resolver

$\displaystyle \int\frac{{x}^{ 2}}{\sqrt{{x}^{ 2}-1} }$

[FONT=Verdana]Teniendo en cuenta que $cosh^2 x -senh^2 x =1$, el cambio de variable x = cosh u, creo que la transformará en una integral de trigonometría hiperbólica


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$\displaystyle \int\frac{x+\sqrt{x}}{x-1 }$

Empezar descomponiendo en una suma de fracciones. La primera es más o menos directa. Y en la segunda utilizar el cambio de variable x=u² para sacar el radical

$\displaystyle \int\frac{log(x)}{\sqrt{x} }$

[FONT=Verdana]Empezar transformando el logaritmo decimal (si es que es un logaritmo decimal) en logaritmo neperiano y continuar haciendo el cambio de variable x=u² para eliminar el radical y aplicar las propiedades de los logaritmos. Quedará un logaritmo neperiano que se hace por partes.
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[FONT=Verdana]Y, de momento, amigo forero, yo no me atrevo a más...
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[FONT=Verdana]La primera tiene trazas de poderse hacer por partes con cambio de variable, pero....Y la otra, tal vez descomponiendo el denominador en una suma por diferencia y luego por partes, pero....

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[javirk]

Re: Integral Sencilla

Hola, yo en la primera haría:

$\displaystyle \int \frac{xarctgx}{(1+x^2)^2}dx = \int \frac{t}{1+tg^2(t)}tg(t) dt = \int t\cdot cos^2(t) \cdot tg(t) dt = \int t\cdot sen(t)\cdot cos(t) dt$

Como $\displaystyle sen(2x) = 2 sen(x)cos(x)$

$\displaystyle \int \frac{xarctgx}{(1+x^2)^2}dx =\int \frac{1}{2} t \cdot sen(2t) dt$

Que se hace por partes.

Cambio:
$\displaystyle t = arctgx$

$\displaystyle \frac{1}{1+x^2}dx = dt$

$\displaystyle x = tg(t)$

Espero no haberme equivocado, aunque puede ser.