1r ciclo Integral de complejos

[jotareiso]

Hola!! tengo problemas para resolver la integral que he subido.Para empezar no se porque se tiene que hacer por abajo y no se puede hacer por arribar (Tº de Jordan). Alguien me puede echar una mano?.... por cierto epsilon es mayor que 0 y x pertenece a los reales

Gracias por todo!!

[pod]

Re: Integral de complejos

Hola!! tengo problemas para resolver la integral que he subido.Para empezar no se porque se tiene que hacer por abajo y no se puede hacer por arribar (Tº de Jordan). Alguien me puede echar una mano?.... por cierto epsilon es mayor que 0 y x pertenece a los reales

Gracias por todo!!

Desarrolla el argumento de la exponencial. Supongamos que $\omega = \omega_1 + i \omega_2$ (parte real e imaginaria). Entonces,

$$- i \omega x = \omega_2 x - i \omega_1 x .$$

Para que la exponencial no sea divergente, la parte real de su argumento tiene que ser negativa. Si x es positiva, $\omega_2$ tiene que ser negativa, y por eso cierras la integral por debajo. Si $x < 0$, tendrías que cerrar por arriba.

[jotareiso]

Re: Integral de complejos

Gracias Pod!!

Puedes explicármelo en otras palabras?¿ No termino de pillar la ultima frase, la importante!! Porque la parte real debe ser negativa? (en este caso omega2*x ,no?). Lo que quieres decir es que al no saber nada de omega solo podemos jugar con x?

[pod]

Re: Integral de complejos

Gracias Pod!!

Puedes explicármelo en otras palabras?¿ No termino de pillar la ultima frase, la importante!! Porque la parte real debe ser negativa? (en este caso omega2*x ,no?). Lo que quieres decir es que al no saber nada de omega solo podemos jugar con x?

$x$ es un valor fijo, pero desconocido, no lo puedes tocar.

$\omega$ es la variable de integración. Sus valores vienen dados por el circuito de integración. Para usar integración por residuos tienes que modificar el circuito de integración para que sea cerrado. Eso lo puedes hacer cerrando "por arriba" o "por abajo". Si lo haces por arriba, el valor de $\omega_2$ es positivo (recuerda la interpretación geométrica de la parte imaginaria de \omega). Si lo haces por abajo, es negativo.

Entonces, según sea el valor de $x$, tienes que elegir la forma de cerrar el circuito de forma que el argumento de la exponencial tenga parte real negativa. Una vez hecho eso, la parte de la integral que recorre la parte de circuito que has añadido se anula, ya que queda suprimida por una exponencial negativa. Por lo tanto, la integral modificada con el circuito cerrado es igual a la integral original siempre que cierres por el circuito por el lado correcto.