Primaria Consulta sobre integración de Funciones racionales

[inakigarber]

Buenas tardes.
Quisiera entender el siguiente problema.
Estoy tratando de entender los pasos para resolver la integral siguiente;

$$\int{\frac{x^4dx}{x^4-1}}$$

Hay un paso que no entiendo. Descomponiendo el polinomio se llega a

$$1=A(x^3-x)+B(x^2+1)+C(x^3-x^2+x-1)+D(x^3+x^2+x+1)$$

Reordenando;

$$1=(A+C+D)x^3+(B-C+D)x^2+(-A+C+D)x+(-B-C+D)$$

Hasta ahora creo que lo entiendo, pero me pierdo en el siguiente paso

$$A+0B+C+D=0$$

$$0A+B-C+D=0$$

$$-A+0B+C+D=0$$

$$0A-B-C+D=1$$

No entiendo como se llega a este sistema de ecuaciones.
El resto de pasos ya los entiendo, pero este no.
Un saludo y gracias.

[angel relativamente]

Re: Consulta sobre integración de Funciones racionales

Hola inakigarber. Supongo que entendiendo que dos polinomios son iguales si son iguales todos sus coeficientes, y que el polinomio $1$ es lo mismo que el polinomio $0x^3 + 0x^2 +0x + 1$, no tendrás mucho problema en entenderlo

[Turing]

Re: Consulta sobre integración de Funciones racionales

Hola,

en el lado izquierdo de la igualdad tienes un término independiente. Estas igualando término a término, por eso te salen 0, porque solo tienes el término independiente.

Un saludo.

PD: Se me adelantó Ángel, sorry!!

[oscarmuinhos]

Re: Consulta sobre integración de Funciones racionales

LLegando a esas ecuaciones, es lo que explica angel y turing, pero si se dejan sin operar, no resultaría más fácil?

$\displaystyle \frac{x^4}{x^4 - 1 }=1 + \frac{1}{x^4 - 1 }$

$\displaystyle \frac{1}{x^4 - 1 } = \frac{1}{ (x^2+1)(x+1)(x-1)}= \frac{Ax+B}{x^2+1 }+\frac{C}{x+1 }+\frac{D}{x-1}$

$\displaystyle \frac{(Ax+B)(x+1)(x-1) +C(x^2+1)(x-1)+D(x^2+1)(x+1)}{(x^2+1)(x+1)(x-1) }$

O sea: $1 = (Ax+B)(x+1)(x-1) +C(x^2+1)(x-1)+D(x^2+1)(x+1)$

Como esta igualdad ha de ser valida para todo x, también lo será para los ceros de cada uno de los factores:

x=1: se obtiene 4D=1;

x=-1: se obtiene -4C =1

No tenemos más ceros reales y tomamos otros valores de x:

x=0: se tendría -B - C + D =1

x=2: se tendría 3(2A +B)+5C +15D =1

Creo que debería obtenerse la misma descomposición....

[angel relativamente]

Re: Consulta sobre integración de Funciones racionales

No tenemos más ceros reales y tomamos otros valores de x:

x=0: se tendría -B - C + D =1

x=2: se tendría 3(2A +B)+5C +15D =1

Creo que debería obtenerse la misma descomposición....

No suele ser mala idea tampoco tomar los ceros complejos (x=i y x=-i en este caso), quedan unas ecuaciones generalmente más sencillas

[inakigarber]

Re: Consulta sobre integración de Funciones racionales

Gracias a ambos.
Me ha quedado mas claro, y me salió la solución. Aunque esta claro que tendré que practicar mucho mas.
Un saludo.