1r ciclo Comprension la definicion de Limite y su participacion en la definicion velocidad instantanea y pendiente de una recta tangente.

[Enphym]

[FONT=verdana]Hola, empiezo citando al Stewart:

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• [FONT=verdana]La velocidad instantanea en t=a se define como el valor limite de las velocidades promedio, durante periodos cada vez mas cortos que comienzan en t=a.
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• [FONT=verdana]La pendiente de la recta tangente es el limite de las pendientes de las rectas secantes.
  [/FONT]

[FONT=verdana]
Cada limite de estos se considera matematicamente como una aproximacion tan optima al verdadero valor de la velocidad en ese momento y de la pendiente respectivamente.

Con el valor de cada aproximacion, entonces el Calculo* supone(asigna) un valor para la velocidad y la pendiente,respectivamente. Pero, es cada cual ¿el mismisimo valor real del fenomeno acontecido (para el caso de la velocidad) y el de la pendiente?

En ultimas ¿el limite se mantiene como una aproximacion (estimacion del valor real) o el es el mismisimo valor real que corresponde por naturaleza?

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*Hago referencia a el area de la matematica, es decir, el Calculo en general.

[Weip]

Re: Comprension la definicion de Limite y su participacion en la definicion velocidad instantanea y pendiente de una recta tangente.

Al hacer el límite, te queda el valor real. Eso sí, las funciones dentro del límite, si las consideramos aparte, son aproximaciones a la velocidad o aceleración instantáneas (lo que corresponda en cada caso).

[Johny_tolengo]

Re: Comprension la definicion de Limite y su participacion en la definicion velocidad instantanea y pendiente de una recta tangente.

Si bien no creo poder dar respuesta completa a tus preguntas, pretendo por lo menos, ayudar con lo siguiente:

La derivada se define como el límite de una sucesión de cocientes incrementales $\frac{\Delta y}{\Delta x}$, es decir:

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$$

Ello quiere decir que el límite de esa sucesión de cocientes incrementales cada vez mas pequeños es un "ente" que no pertenece a dicha sucesión; por lo tanto la derivada no es el último valor de los cocientes incrementales de esa sucesión; con lo cual no es $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ cuando tanto $\Delta y$ y $\Delta x$ son infinitamente pequeños.

Geométricamente, la pendiente de la tangente a una curva $y=f(x))$ en un punto P, $P(x, y(x))$, obtenida como el límite de la secante que pasa por los puntos $P(x, y(x))$ y $Q({x}_{1}, y({x}_{1}))$ en la medida que $Q({x}_{1}, y({x}_{1}))$ se acerca a $P(x, y(x))$ no debe interpretarse como la pendiente de la secante cuando el punto $Q({x}_{1}, y({x}_{1}))$ se encuentra infinitamente cerca a $P(x, y(x))$, tan cerca que secante y tangente se confunden. Este concepto es erróneo.

A continuación transcribo un extracto de un trabajo que habla justamente del tema:

El problema de calcular el ritmo de cambio. Este problema surgió directamente del dominio de la Mecánica al enfrentarse con movimientos donde la rapidez y la aceleración variaban con el tiempo: se trataba de encontrar la rapidez y aceleración en cualquier instante a partir de la ecuación de la posición; e inversamente, calcular la rapidez y el desplazamiento sobre la trayectoria a partir de la ecuación de la aceleración de un cuerpo en función del tiempo.
En estos casos, el concepto de rapidez media resultaba insuficiente:
– no podía calcularse la rapidez en un instante, pues al ser cero tanto el desplazamiento como el tiempo empleado, se llegaba a la indeterminación (00⁄).
– Del mismo modo, no podía calcularse el desplazamiento multiplicando la rapidez por el tiempo empleado, pues si la rapidez cambiaba durante ese intervalo de tiempo, ¿qué valor de la rapidez debía tomarse?
Hemos de resaltar, como señala Schneider (1992), que las dificultades que plantearon históricamente estos problemas iban más allá de la comprensión del concepto de límite, y procedían también de una visión fuertemente empirista de las ciencias en general y de las Matemáticas en particular; una visión que se negaba a admitir la existencia de conceptos como el de rapidez instantánea por carecer de un referente empírico directo. En efecto, la rapidez media es un concepto que puede ser percibido coordinando las sensaciones de duración y de desplazamiento, y puede ser medida. Por el contrario, la rapidez instantánea es un objeto mental que escapa al universo de los sentidos y de la medida directa, (no existen ahora las sensaciones mencionadas). Según la autora, el obstáculo consiste en que “se le niega a las Matemáticas el derecho o simplemente, la posibilidad de delimitar con precisión algo que los sentidos no aprehenden más que imperfectamente”. Debido a este obstáculo, se pretende llegar al concepto de rapidez instantánea a través del mundo de los sentidos, del cual escapa una y otra vez, lo que provoca un claro rechazo hacia el concepto de rapidez instantánea.
Esta resistencia a aceptar los objetos teóricos construidos por la ciencia, confundiéndolos con los objetos reales del mundo, tal como se recoge en los diálogos entre Galileo y su maestro Del Monte, es un obstáculo característico del nacimiento de la ciencia moderna, bien documentado por historiadores y filósofos de la ciencia (Mathews, 1994 a y b; Westfal, 1977, pp. 38 y ss.)

[Enphym]

Re: Comprension la definicion de Limite y su participacion en la definicion velocidad instantanea y pendiente de una recta tangente.

Hola Johny, gracias por tu respuesta.

Aprovecho para preguntar:

...el límite de esa sucesión de cocientes incrementales cada vez mas pequeños es un "ente" que no pertenece a dicha sucesión...

Entonces, ¿porque cuando hallamos la relación de cambio instantánea le otorgamos las mismas unidades de las relaciones aproximadas, si justamente este limite no pertenece a la sucesión?

Mencionaste un extracto (genial!) de un trabajo y en este extracto se menciona a una autora.¿podrías decirme de que trabajo se trata y de que autora y libro también?